Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

1. Вероятность суммы несовместных событий

Теорема. Если и – несовместные события, то справедлива формула

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Если , ,..., – попарно несовместные события, то справедлива формула

.

Пример 1. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама»?

Решение. Обозначим

– из 3-х выбранных карт окажется хотя бы одна «дама»,

– из 3-х выбранных карт окажется одна «дама»,

– из 3-х выбранных карт окажется две «дамы»,

– из 3-х выбранных карт окажется три «дамы».

Тогда , причем события , , – несовместные. Поэтому

.

Число возможных случаев выбора трех карт из 36 равно . Число случаев, благоприятных событиям , , , соответственно равны

, , .

Таким образом,

.

Задача решается проще, если воспользоваться формулой вероятности противоположного события.

Событие - среди выбранных карт нет ни одной дамы.

.

Значит искомая вероятность

.

2. Теорема умножения вероятностей

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие называется зависимым от события , если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается или . Читается так: вероятность события при условии, что произошло событие .

Пример 2. Брошена игральная кость. Событие - выпала цифра 4.

Безусловная (обычная) вероятность .

Пусть известно, что произошло событие – выпала четная цифра (т.е. 2, 4, 6) – всего три возможных исхода. Событию благоприятствует один из них – цифра 4, следовательно, условная вероятность .

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

или .

Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события . Тогда

.

Пример 3. Выборка шаров без возвращения. Пусть в урне находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Выбираем наудачу один шар; не возвращая его в урну, выбираем второй шар. С какой вероятностью оба шара будут белыми?

Решение. Пусть событие заключается в том, что первый раз вынут белый шар, его вероятность . Если событие произошло, то в урне осталось 2 белых и 7 черных шаров. Вероятность того, что второй шар тоже является белым – это условная вероятность , она составляет . Тогда по теореме умножения вероятностей

.

3. Вероятность суммы совместных событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения

.

Пример 4. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Введем обозначения:

– появление шестерки на первой кости,

– появление шестерки на второй кости.

Тогда – появление хотя бы одной шестерки при бросании двух костей.

События и совместные. По формуле суммы двух совместных событий находим

.