Краткие сведения из теории вероятностей
Теория вероятности оперирует с событиями, которые обозначаются большими буквами латинского алфавита: События могут произойти или не произойти случайным образом. Среди событий выделяют два особых события: достоверное событие , которое происходит всегда, и невозможное событие , которое не происходит никогда. Событие называется противоположным , оно происходит тогда, когда не происходит. Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением событий и обозначается как или . Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного события, называется суммой событий и обозначается . Наступление события при условии, что наступило событие ,обозначают как .
Из определений следует, что .
Каждому случайному событию ставится в соответствие неотрицательное число которое называется вероятностью события.
Справедливы следующие законы теории вероятностей.
· ;
· ;
· (2.5)
· .
· Событие не зависит от события ,
если и
Поэтому для независимых событий и имеем .
Выведем теперь формулу, которая потребуется в дальнейшем. Из формулы (2.5) для вероятности произведения событий следует
, ,
Откуда
.
Вероятность формально можно представить в виде
,
В результате получаем так называемую формулу Байеса:
. (2.6)
Эта формула широко применяется в системах поддержки принятия решений, поскольку с ее помощью можно уточнять и накапливать информацию в процессе функционирования системы.
Предположим, что имеется некоторая гипотеза и априорная вероятность того, что эта гипотеза истинна Пусть, далее, имеется свидетельство в пользу этой гипотезы. Это позволит уточнить вероятность истинности гипотезы . По формуле Байеса (3) имеем:
. (2.7)
Пример. Предположим, что ЛПР сомневается в справедливости гипотезы и оценивает вероятность того, что она справедлива, величиной и, соответственно, что она ложна, вероятностью . Однако привлеченный эксперт считает вероятность того, что гипотеза верна, равной , а вероятность ошибки он оценивает величиной В результате расчета по формуле Байеса (4) получим
.
Таким образом, ЛПР может изменить свою оценку вероятности гипотезы .
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1222;