Краткие сведения из теории вероятностей

Справедливы следующие законы теории вероятностей.

· ;

· ;

· (2.5)

· .

· Событие не зависит от события ,

если и

Поэтому для независимых событий и имеем .

Выведем теперь формулу, которая потребуется в дальнейшем. Из формулы (2.5) для вероятности произведения событий следует

, ,

Откуда

.

Вероятность формально можно представить в виде

,

В результате получаем так называемую формулу Байеса:

. (2.6)

Эта формула широко применяется в системах поддержки принятия решений, поскольку с ее помощью можно уточнять и накапливать информацию в процессе функционирования системы.

Предположим, что имеется некоторая гипотеза и априорная вероятность того, что эта гипотеза истинна Пусть, далее, имеется свидетельство в пользу этой гипотезы. Это позволит уточнить вероятность истинности гипотезы . По формуле Байеса (3) имеем:

. (2.7)

Пример. Предположим, что ЛПР сомневается в справедливости гипотезы и оценивает вероятность того, что она справедлива, величиной и, соответственно, что она ложна, вероятностью . Однако привлеченный эксперт считает вероятность того, что гипотеза верна, равной , а вероятность ошибки он оценивает величиной В результате расчета по формуле Байеса (4) получим

.

Таким образом, ЛПР может изменить свою оценку вероятности гипотезы .