Типовые задачи и методические указания по их решению
Задача 1. Определить натуральную длину отрезка АВ (А1В1; А2В2) и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.1, рис.2).
Рис. 1 Рис. 2
Решение. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам (см. рис.1). За один катет принимаем фронтальную проекцию А2В2 отрезка АВ, за другой катет – отрезок, равный разности расстояний концов отрезка до плоскости П2. В0В2 = А1А1/. Угол β - угол наклона АВ к плоскости проекций П2.
Можно найти длину отрезка АВ, строя прямоугольный треугольник не на фронтальной проекции А2В2, а на горизонтальной проекции А1В1 (рис.2). Тогда вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка до плоскости П1. В1В0 = В2В2/. Угол α - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1.
Задача 2. На прямой l (l1, l2) от точки А(А1, А2) отложить отрезок длиной 30 мм (рис.3).
Решение. Выделяем на прямой l произвольный отрезок АМ и определяем его натуральную длину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам А1М1 и М1М0 = М2М2/ .
На гипотенузе А1М0 построенного треугольника откладываем отрезок А1С0 = 30 мм. Опустив из точки С0 перпендикуляр на горизонтальную проекцию прямой, получаем горизонтальную проекцию А1С1 , а по ней и фронтальную А2С2 проекции искомого отрезка.
Рис. 3
Задача 3. Через прямую l (l1, l2) (рис.11а) провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (рис.4).
Рис. 4
Решение. Признаком принадлежности прямой l фронтально проецирующей плоскости является принадлежность (совпадение) фронтальной проекции l2 , прямой l с фронтальной проекцией ∆2 плоскости ∆ ,
т.е. если l Ì ∆ Û l2 ≡ ∆2 (рис.4 б).
Задача 4. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆ ( ∆ 2 ) (рис.5а).
Рис. 5
Решение. Плоскость ∆ ( ∆ 2) – фронтально проецирующая. Фронтальная проекция плоскости ∆ обладает собирательным свойством, поэтому фронтальная проекция N2M2 искомой линии пересечения совпадает с ∆ 2. Пользуясь условием, что искомая прямая MN принадлежит и плоскости Г (АВС), находим по фронтальной проекции её горизонтальную проекцию M1N1 (рис.5 б).
Задача 5. Построить проекции точки пересечения прямой l (l1, l2) с плоскостью Г(АВС). Определить видимость прямой l (l1, l2) относительно плоскости Г (рис.6 а).
Решение. Для решения задачи следует последовательно выполнить следующие три операции (рис.6 б).
1-я операция. Через прямую l провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (∆ 2 ) (см. задачу 3).
2-я операция. Построить проекции линии пересечения обеих плоскостей – данной Г и вспомогательной ∆, т.е. MN (M1N1; M2N2) (см. задачу 4).
3-я операция. В пересечении проекций данной прямой l и построенной MN отметить проекции (К1, К2) искомой точки.
Рис. 6
Найдя точку пересечения, перейти к определению видимости прямой l .
Для определения видимости прямой l на горизонтальной проекции (вид сверху) рассматриваем две горизонтально конкурирующие точки 1 Î АВ и 2 Î l (11 ≡ 21). По фронтальной проекции видим, что точка 1 лежит по отношению к плоскости П1 выше, чем точка 2. Это значит, что сверху видимой является точка 1, а точка 2 закрыта ею. Следовательно, на виде сверху отрезок прямой l , на котором лежит точка 2, является невидимым. На фронтальной проекции видимость можно определить, например, при помощи фронтально конкурирующих точек N Î ВС и 3 Î l . Сравниваем расстояние их по отношению к плоскости П2 . Сравнение показывает, что точка 3 прямой l , а следовательно, отрезок 3К, спереди не виден.
Задача 6. В плоскости Г (l ∩ m) провести горизонталь h (h1, h2) и фронталь f ( f1; f2) (рис.7а).
Рис. 7
Решение. Известно, что фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси XO. Поэтому построение горизонтали начинаем с проведения h2 ∥ XO (рис.7б). Горизонтальную проекцию находим из условия принадлежности горизонтали h плоскости Г. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальные проекции данных прямых l2 и m2 в точках 12 и 22 , которым соответствуют горизонтальные проекции 11 и 21. Через них и пройдет горизонтальная проекция h1 искомой горизонтали h . На (рис.7б) в плоскости Г построена и фронталь f (f1; f2). Это построение выполнено аналогично построению горизонтали.
Задача 7. Даны плоскость Г (l || m) и точка D(D1; D2).
Опустить перпендикуляр из точки на эту плоскость (рис.8).
Известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.
Решение . Проводим горизонталь h (h1; h2 ) и фронталь f ( f1; f2) (см. задачу 6). Затем проводим проекции перпендикуляра: горизонтальную n1 – через D1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 , и фронтальную n2 – через D2 перпендикулярно проекции фронтали f2 .
Рис. 8
Задача 8. Из произвольной точки плоскости Г (l ∩ m) восстановить перпендикуляр (нормаль) к плоскости (рис.9а).
Решение. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости позволяют строить на чертеже проекции нормали к плоскости. На рис.16б дано построение нормали n ( n1; n2) в точке К (К1 ; К2) к плоскости Г (l ∩ m). Проекции нормали перпендикулярны соответствующим проекциям линий уровня плоскости Г.
Рис. 9
Задача9. Даны плоскость Г (l ∩ m) и точка D; требуется определить расстояние от точки D до плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми l и m (рис. 10).
Рис. 10
Порядок решения задачи:
1. Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость Г (l ∩ m) (см. задачу 7).
2. Определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью и отделить видимый участок перпендикуляра от невидимого, считая плоскость непрозрачной (см. задачу 5).
3. Определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости Г (см. задачу 1).
Задача 10. Дана точка К(К1;К2) и плоскость Г (АВС) провести через точку К плоскость, параллельную заданной плоскости Г (рис. 11).
Построение эпюра параллельных плоскостей основано на известном из стереометрии признаке: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Рис. 11
Решение. Проводим через точку К(К1;К2) прямые l (l1, l2) и m (m1 ; m2), параллельно сторонам АВ(А1 В1,А2 В2) и АС(АС1,АС2). Плоскости Г и Ʃ параллельны, т.к. их пересекающиеся прямые удовлетворяют условию: l ∥ АВ и m ∥ АС.
Задача 11. Построить плоскость ∆, параллельную плоскости Г (АВС) и отстоящую от неё на расстоянии 40 мм (рис. 12).
План решения задачи:
1. Из произвольной точки С (С1;С2) заданной плоскости восстановить перпендикуляр к ней и ограничить его точкой N(N1;N2) (см. задачу 8).
2. Определить натуральную величину отрезка перпендикуляра по его проекции C1N1 и C2N2 (см. задачу 1).
Рис. 12
3. На действительной величине отрезка перпендикуляра найти точку М0 на заданном расстоянии, считая от плоскости, и построить проекции этой точки М(М1;М2) на проекциях перпендикуляра (см. задачу 2).
4. Задать искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей (см. задачу 10).
Задача 12. Через прямую l (l1,l2) провести плоскость ∆, перпендикулярную к плоскости Г (m ∩ n) (рис.13).
Решение. Если плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Чтобы провести через прямую l (l1, l2) искомую плоскость, надо из какой-либо точки прямой, например, А(А1;А2), провести перпендикуляр к данной плоскости.
Строим проекции горизонтали h(h1;h2) и фронтали f(f1;f2) плоскости Г(n ∩ m). Затем, проведя А1В1 ^ h1 и А2В2 ^ f2 , получим проекции перпендикуляра к плоскости Г. Этот перпендикуляр АВ (А1В1; А2В2) совместно с данной прямой l (l1, l2) определяют искомую плоскость Δ (l ∩ АВ).
Рис. 13
Задача 13. Построить линию пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆(DEF) и отделить видимые их части от невидимых (рис.14).
Рис. 14
Решение. Первая часть задачи сводится к построению линии пересечения двух плоскостей.
Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. В данном случае общие точки для обеих плоскостей найдены как точки пересечения: М – стороны DE треугольника DEF с плоскостью Г(АВС); N – стороны ВС треугольника АВС с плоскостью ∆(DEF). Точка М определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости θ(θ2), точка N – посредством горизонтально проецирующей плоскости Σ(Σ1) проведенных через DE и BC соответственно.
Линия пересечения плоскостей ограничена отрезком MN прямой, заключённым между точками встречи контура одной фигуры с ограниченной плоскостью другой.
Найдя линию пересечения, переходим к отделению видимых участков пластинок от невидимых, начав с горизонтальной проекции (вид а сверху). С этой целью рассмотрим две горизонтально конкурирующие точки 5 Î АВ и 6 Î DE. Сравнивая расстояния фронтальных проекций этих точек по отношению к плоскости П1. замечаем, что точка 6 пластинки DEF, а следовательно, и участок стороны DE, находится под плоскостью пластинки АВС. В точке М происходит переход невидимого участка прямой DE к видимому.
Аналогичными рассуждениями при помощи фронтально конкурирующих точек 1 Î АВ и 7 Î DE определяем видимость на фронтальной проекции.
Задача 14. Дана точка А(А1;А2). Найти её проекции в системе П1/П4 (рис.15а).
На рис. 15 показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекций точки А(А1;А2) в системе П1/П2 перейти к проекциям (А1;А4) той же точки в системе П1/П4..
1.Опускаем из А1 перпендикуляр на новую ось проекций П1/П4. На построенном перпендикуляре откладываем (от новой оси) отрезок А4Ах'=А2Ах.
Полученная таким образом точка А4 является проекцией точки А(А1;А2) на новую плоскость проекции П4.
Задача 15. Дана точка А(А1;А2) найти её проекции в системе П2/П4 (рис.15б).
На рис.15б показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекции (А1;А2) точки А в системе П1/П2 перейти к проекциям (А2; А4) той же точки в системе П2/П 4 .
Рис. 15
Для построения на эпюре новой проекции точки при замене одной из плоскостей проекций надо опустить перпендикуляр на новую ось из той же проекции точки, которая не меняется, и отложить на нем от новой оси в соответствующую сторону расстояние от заменяемой проекции до старой оси.
Задача 16. Преобразовать горизонтально проецирующую плоскость Г(АВСD) в плоскость уровня (рис.16).
Решение. Плоскость Г – горизонтально проецирующая. Для преобразования ее в плоскость уровня достаточно взамен плоскости проекции П2 ввести новую плоскость П4 , параллельную плоскости Г(АВСD). Линию пересечения плоскостей П1 и П4 принимаем за новую ось проекций X1.
Новая ось X1 параллельна вырожденной проекции Г1 плоскости Г, т.к. плоскость П4 параллельна данной плоскости Г. Построив проекции точек А, В, С и D в новой системе П1 П4 и соединив их, получим проекцию четырехугольника А4В4С4D4, отображающего свои натуральные размеры.
Рис. 16
Задача 17. По данной фронтальной проекции К2 точки К построить горизонтальную проекцию К1, исходя из условия, что точка К принадлежит грани SАС (рис.17).
Построение точки на поверхности выполняется как построение точки на плоскости грани.
Решение. На грани SАС при помощи прямой 1–2 (1121 ; 1222) по данной фронтальной проекции К2 точки К построена горизонтальная проекция К1 , исходя из условия, что точка К должна лежать в грани SАС.
На рис.18 показано построение К1 на грани SВС при помощи прямой, проведенной через вершину S пирамиды.
Рис. 17 Рис. 18
Задача 18. Задать на поверхности конуса произвольную точку А (рис.19).
Рис. 19
Решение.
1-й способ (рис.19а). На основании конуса задаем произвольную точку К(К1 , К2) и проводим вспомогательную образующую через точки S и К. На этой образующей берем точку А, которая и лежит на заданной поверхности.
2-й способ (рис.19б). На поверхности конуса проводим вспомогательную параллель; ее фронтальная проекция является отрезком прямой, параллельным оси проекций XO, а горизонтальная проекция – окружностью. На этой параллели берем точку А , которая и лежит на поверхности.
Задача 19. Построить горизонтальную проекцию линии на поверхности конуса по заданной фронтальной проекции (рис.20).
Решение. Построение горизонтальной проекции заданной линии начинаем с того, что отмечаем точки, принадлежащие очерковым образующим. Эти точки называют характерными.
Точка 3 принадлежит передней образующей, 8 – задней, 2 – правой, 1 – левой и точка 10 – основанию конуса. Между этими точками отмечают так называемые случайные точки, помогающие установить характер линии. Точки 4, 5, 6, 7 и 9 – случайные.
Горизонтальные проекции всех отмеченных точек находим из условия принадлежности их конусу (см. задачу 16).
Рис. 20
При соединении точек следует учитывать их видимость. В нашем примере все точки сверху видимы, поэтому и линия, соединяющая их, видима сверху.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 38491;