Пример решения задач про сопротивления.

Задача 21. При измерении мультиметром постоянного напряжения в диапазоне до сопротивление прибора . Какие сопротивления используются в приборе и как они подсоединяются к сопротивлению для переключения диапазона измерений на , равные 2; 20; 200 и 600 В?

; ; 2; 20; 200; 600 В.

V

V

а б

Рис. 42

При подключении мультиметра на напряжение через прибор протекает ток (рис. 42 а); величина его, в соответствии с законом Ома:

(1)

Значение является наибольшим допустимым для данного прибора. При подключении этого мультиметра на напряжение в большем диапазоне ток, согласно формуле (1), возрастал бы. Чтобы снизить его до , необходимо увеличить сопротивление цепи. Это делают путем подключения последовательно к сопротивлению (сопротивлению прибора на минимальном диапазоне) добавочного сопротивления (рис. 42 б); при этом ток в цепи, согласно закону Ома:

(2)

Приравнивая максимальный ток, идущий через прибор, определяемый формулами (1) и (2), получаем формулу для расчета величины добавочного сопротивления :

. (3)

Вычисляем величины добавочных сопротивлений для заданных диапазонов измеряемых напряжений по формуле (3):

Для ;

; ;

.

Задача 22. При измерении мультиметром постоянного тока в диапазоне до сопротивление прибора . Какие сопротивления используются в приборе и как они подключаются к сопротивлению при переключении диапазона измерений на токи , равные 20; 200 мА и 10 А?

Дано Решение

; ; 20; 200 мА; 10 А.

В

А

А

а б

Рис. 43

При использовании мультиметра в режиме работы амперметра с диапазоном измеряемых токов до 2 мА через прибор может протекать максимальный ток (рис. 43 а), равный, в соответствии с законом Ома:

. (1)

Значение является наибольшим из допустимых значений тока для данного прибора. Чтобы измерять этим мультиметром ток большего диапазона , необходимо часть тока, равную ( , отвести в другую ветвь электрической цепи (рис. 43 б). Сопротивление этой ветви называют шунтирующим сопротивлением (или кратко – шунт). При этом через прибор будет протекать ток, равный – максимальный при измеряемом токе, равном верхней границе диапазона , или кратный – при измеряемых токах, меньших значения . Таким образом, шунтирующее сопротивление подключают параллельно сопротивлению прибора на минимальном диапазоне.

Соотношение токов (через сопротивление ) и (через шунт) найдем, записывая второе правило Кирхгофа для замкнутого контура электрической цепи (см. рис. 43 б), выбрав направление обхода контура – по часовой стрелке:

(2)

Здесь в правой части уравнения записан нуль, так как в контуре нет ЭДС источника тока.

Из уравнения (2) выразим искомое сопротивление шунта

(3)

Соотношение между током и измеряемым током найдем, используя первое правило Кирхгофа для узла электрической цепи (см. рис. 43 б):

(4)

Величины в сумме токов взяты со знаком «минус», так как эти токи уносят заряд из узла , в отличие от тока , приносящего заряд в узел электрической цепи.

Величину тока , согласно уравнению (4), подставим в формулу (3) и получим следующую расчетную формулу:

. (5)

Из последней формулы следует, что сопротивление , так как большую часть измеряемого тока нужно отвести в параллельную шунтирующую ветвь.

Вычисляем сопротивления шунтов по формуле (5):

; ;

.

Заметим, что шунтирование в электрических цепях применяется в электротехнических устройствах, а также бывает в электрической дуге, в частности, в дуговом газовом разряде, который применяется для сварки металлов, и в электродуговой печи для получения легированной стали.

Задача 23. Допустимая рабочая величина плотности тока для медного проводника . Определите при данном токе следующие величины: 1) напряженность электрического поля в этом проводнике; 2) напряжение на концах проводника длиной и площадью поперечного сечения ; 3) мощность , которая выделяется в этом проводнике.

Дано Решение

; ; ; . 2)

1) Плотность тока в проводнике зависит от напряженности электрического поля, которое имеется в каждой точке проводника при протекании в нем тока, в соответствии с законом Ома в дифференциальной форме:

, (1)

где – удельное сопротивление материала проводника.

Из формулы закона (1) получаем расчетную формулу напряженности электрического поля в проводнике:

Вычисляем величину

2) Считая, что электрическое поле внутри однородного проводника является однородным, используем для этого квазистатического поля формулу связи напряженности с разностью потенциалов, как для электростатического поля, в следующем виде:

. (2)

Вычисляем напряжение, равное разности потенциалов на концах однородного участка цепи, по формуле (2):

.

3) Электрическую мощность, которая выделяется в проводнике, можно рассчитать по формуле закона Джоуля – Ленца:

.

Заменяя в этой формуле ток, в соответствии с законом Ома: , получаем расчетную формулу величины мощности:

, (3)

где – сопротивление проводника; для однородного проводника с постоянным сечением справедлива формула

. (4)

Выполним расчет по формуле (4), чтобы оценить порядок величины электрического сопротивления таких проводников, используемых, в частности, в бытовой технике:

.

Вычисляем по формуле (3) электрическую мощность, выделяемую в проводнике при протекании в нем тока:

.

Задача 24. При подключении сопротивления к источнику тока в нем протекает ток и на этом сопротивлении выделяется мощность , а при другой величине внешнего сопротивления, равной , ток в цепи и на сопротивлении выделяется мощность Определите следующие величины: 1) внутреннее сопротивление источника тока ; 2) ЭДС источника тока ; 3) ток короткого замыкания источника тока ; 4) КПД источника тока при двух сопротивлениях внешней цепи, равных .

Дано Решение

; ; ; 3)

а б в

Рис. 44

1) Для замкнутых цепей (рис. 44 а и рис. 44 б) ток и ЭДС источника тока связаны законом Ома в следующем виде:

(1)

Из этих формул получаем следующие соотношения величин:

;

Приравнивая правые части записанных формул, исключаем неизвестную величину и получаем расчетную формулу внутреннего сопротивления источника тока:

(2)

Чтобы найти сопротивления внешней цепи , используем закон Джоуля – Ленца – зависимость выделяемой мощности от величины сопротивления, в следующем виде:

.

Из этих формул определяем сопротивления: . Подставляя полученные значения сопротивлений в выражение (2), получаем расчетную формулу для величины в следующем виде:

. (4)

Вычисляем внутреннее сопротивление источника тока:

.

2) Электродвижущую силу источника тока находим с помощью закона Ома (1):

.

Вычисляем величину ЭДС:

3) Ток короткого замыкания – это максимальный ток, который можно получить от данного источника тока. Он протекает в электрической цепи (рис. 44 в) при отсутствии внешнего сопротивления и, согласно закону Ома (1), определяется следующей формулой:

; вычисляем

4) Коэффициент полезного действия источника тока равен отношению полезной мощности, которая выделяется на внешнем сопротивлении (сопротивлении нагрузки), к полной мощности, которая выделяется во всей цепи, в том числе и в источнике тока. Используя закон Джоуля – Ленца, определяем величину КПД источника тока:

.

Вычисляем значения КПД, используя формулы для сопротивлений нагрузки :

;

.

Задача 25. Электродвижущая сила источника тока , ток короткого замыкания . Определите следующие величины: 1) сопротивление внешней цепи, при котором выделяется максимальная мощность ; 2) величину , которую можно получить от данного источника тока, и КПД источника тока при этой мощности; 3) сопротивление нагрузки , при котором КПД .

Дано Решение

; . при 3) при

А

а б

Рис. 45

1) Мощность , выделяемая в сопротивлении внешней цепи (рис. 45 а), определяется законом Джоуля – Ленца:

(1)

где – ток в цепи, который найдем по закону Ома для замкнутой цепи:

(2)

Здесь – внутреннее сопротивление цепи, или сопротивление источника тока.

2) Подставляя величину тока по формуле (2) в уравнение (1), получаем следующую формулу:

. (3)

Зависимость полезной мощности, выделяемой в сопротивлении нагрузки , от величины этого сопротивления, представленная формулой (3), имеет . Между этими нулевыми значениями есть максимальное (так как величина ). Запишем условие максимума функции :

(4)

Таким образом, максимальная мощность развивается источником тока при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению источника тока.

Сопротивление источника тока обычно измеряют методом вольтметра – амперметра в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 45 б. Вольтметром измеряют ЭДС источника тока, в данной задаче она известна. Амперметром, сопротивление которого обычно мало ( ), измеряют ток короткого замыкания . Из формулы (2) закона Ома определяем сопротивление источника тока:

(5)

Тогда сопротивление нагрузки , при котором выделяется максимальная мощность

.

Для определения максимального значения мощности , которая выделяется на сопротивлении нагрузки , подставим в уравнение (3) сопротивления , найденные по формулам (4) и (5):

.

Вычисляем величину .

Определим КПД источника тока как отношение мощностей:

. (6)

Здесь – полезная мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении ; – мощность источника тока, развиваемая во всей цепи. После подстановки величин этих мощностей в формулу для КПД получаем следующую расчетную формулу:

(7)

По этой формуле находим, что при выделении на нагрузке максимальной мощности величина КПД

, или

3) С помощью формулы (7) найдем внешнее сопротивление , соответствующее заданному значению КПД :

1,0

0,5

Рис. 46

.

Вычисляем величину сопротивления нагрузки при КПД :

.

В заключение приведем примерные графики (рис. 46), которые показывают зависимости полезной мощности , выделяемой источником тока на внешнем сопротивлении , и КПД источника тока от отношения сопротивлений .

Задача 26. Нагреватель электрического чайника имеет две секции. При включении одной из них вода в чайнике закипает за время , а при включении другой секции – через . Через какой промежуток времени закипит вода в чайнике, если соединить обе секции: а) последовательно, б) параллельно?

Дано Решение

; а) последовательно: б) параллельно:

а б

Рис. 47

Для нагревания воды в чайнике до температуры кипения требуется определенное количество теплоты . Это необходимое количество теплоты выделяется на сопротивлении нагревателя при протекании в нем электрического тока за время и, согласно закону Джоуля – Ленца, определяется следующей формулой:

(1)

Так как токи через сопротивления при последовательном (рис. 47 а) и параллельном (рис. 47 б) соединении этих сопротивлений различны, а одинаковая в этих двух случаях величина напряжения, на которое подключается нагреватель, то запишем ток по закону Ома:

(2)

Подставляя ток по формуле (2) в уравнение (1), получаем формулу для количества теплоты в следующем виде:

(3)

Выразим из уравнения (3) время , необходимое для сообщения чайнику с водой требуемого количества теплоты:

(4)

Из формулы (4) следует, что время нагрева пропорционально сопротивлению нагревателя. Поэтому заданные в условии задачи величины выразим через сопротивления каждой секции нагревателя, соответственно , согласно формуле (4):

. (5)

Из последних соотношений выразим сопротивления секций, которые будут нужны для расчета сопротивления последовательного и параллельного соединения секций:

. (6)

Представим искомые времена нагрева при двух соединениях сопротивлений формулами, аналогичными соотношениям (5):

(7)

Здесь – сопротивление нагревателя при последовательном соединении секций сопротивлениями :

; (8)

– сопротивление нагревателя при параллельном соединении сопротивлений .

Так как

. ( 9)

Подставляя значения сопротивлений нагревателя, представленные формулами (8) и (9), в соотношения (7), а затем, выражая величины через заданные времена нагрева по формулам (6), получаем следующие расчетные формулы времени нагрева в двух случаях соединения секций нагревателя:

; (10)

(11)

Вычисляем времена нагрева чайника при последовательном и параллельном соединениях секций по формулам (10) и (11):

;

.

Таким образом, полученный результат показывает, что нагреватель, состоящий из двух секций с различными сопротивлениями, позволяет осуществлять нагрев с четырьмя различными скоростями.