Предельный переход в неравенствах
Теорема 7.1. Пусть все члены сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда и предел этой последовательности удовлетворяет этому неравенству
.
Замечание 7.1. Если для членов сходящейся последовательности выполняется строгое неравенство , то предел этой последовательности может равняться этому числу: .
Пример 7.1. Все члены последовательности -строго положительны (строго отрицательны), т.е. . Однако
.
Теорема 7.2. Пусть все члены сходящихся последовательностей и удовлетворяют неравенству . Тогда их пределы удовлетворяют этому неравенству
.
Замечание 7.2. Если для членов сходящихся последовательностей и выполняется строгое неравенство , то их пределы могут быть равными
.
Теорема 7.3. Пусть все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. . Тогда и предел этой последовательности принадлежит этому промежутку, т.е. .
Замечание 7.3. Если все члены сходящейся последовательности принадлежат промежутку , т.е. , то предел этой последовательности может не принадлежать этому промежутку, т.е. могут выполняться нестрогие неравенства .
Теорема 7.4. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство
.
8. Теоремы существования. Число
Теорема 8.1. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел и имеет место равенство .
Следствие 8.1. Последовательность , члены которой определяются равенством , является строго монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Из теоремы 8.1 следует, эта последовательность имеет предел и обозначается символом « »:
Число является иррациональным и приближенно равно .
Следствие 8.2. Пусть последовательность стремится к нулю и последовательность к бесконечности, т.е. и . Тогда справедливы равенства
.
Теорема 8.2. Монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел и имеет место равенство .
Теорема 8.3. Пусть все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенствам . Тогда если последовательности и сходятся и имеют общий предел , то последовательность также сходится и имеет место равенство
.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 2842;