Теорема 1. (критерий подкольца).

Непустое множество является подкольцом :

1) 2) .

Доказательство.

Необходимость- очевидно. Если подкольцо, то произведение принадлежит, кроме того, является подгруппой по сложению, тогда для любого элемент , а значит и .

Достаточность.Если для любой пары элементов то и для пары одинаковых , а тогда и , то есть для каждого элемента противоположный тоже , т.е. подгруппа по сложению (логика док-ва как в док. критерия подгруппы, только там общий вид операции ).

Операция ассоциативна и на подмножестве, поэтому полугруппа.

Дистрибутивность также сохраняется на подмножестве.

Вывод: подкольцо.

Обратимые элементы.

Определение. называется обратимым, если .

Пример. В кольце обратимые элементы только 1 и .

В кольцах или обратимые элементы все, кроме 0.

В кольце функций (с поточечным умножением) обратимые элементы это те функции, которые ни в одной точке не обращаются в 0.

Делители нуля

Определение.Если , , , но при этом , то называются делителями нуля.

Пример в кольце функций. только на на . Тогда на всей числовой оси.

В числовых множествах делителей нуля нет. В кольце матриц есть, например, .

Теорема 2. Обратимый элемент кольца не может являться делителем нуля.

Доказательство. Пусть обратим, и пусть всё же он является делителем 0, тогда есть какой-то , что . Но тогда

но с другой стороны, , тогда .

Значит, не делитель нуля.

Замечание.Обратное утверждение к теореме 2 неверно, т.е. из того, что он не делитель нуля, не следует, что обратимый. Пример: в кольце все не делители нуля, но из этого не следует, что они обратимы, там обратимы только 1 и (выше был пример).

Теорема 3. О мультипликативной группе кольца.

Все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу по умножению. (Обозначается ).

Доказательство.

Докажем, что если то тоже обратим, т.е. . Докажем, что обратный имеет такой вид: .

= = = = 1.

Кроме того, , ведь сам элемент 1 обратим, и обратный к нему тоже 1.

Обратный к любому элементу также , ведь если он обратный к какому-то, и равен , то он автоматически обратим, обратный к нему это исходный . □

Идеал кольца.

Определение.Подкольцо называется идеалом, если .

Пример во множестве функций. Все функции, обращающиеся в 0 в точке , образуют идеал. Если умножить произвольную функцию на такую, то произведение приобретает свойство .

Кольца вычетов.

Определение.Два целых числа называются сравнимыми по модулю n, если при делении на n они дают одинаковые остатки, т.е. если их разность делится на n: .