Функция не является обратимой, так как не является монотонной.

6.
х
у
-1
-2
-3
у = 0; = 0 - уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох

7. у > 0; у > 0.

8. Функция является ограниченной снизу, так как у > 0.

х
у

-1
х
у
-1
-2
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
(a - отрицательное нечетное число)

1. Область определения функции: .

2. Множество значений функции: , так как ;

.

Вывод: График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Функция является нечетной,так какее область определения симметрична относительно начала координат и для любого выполняется равенство . .

Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.

4. Функция является монотонной, так как убывает при .

5. Функция является обратимой, так как является монотонной.

6. у = 0; = 0 уравнение корней не имеет, нулей функции нет.

Вывод: График функции не пересекает ось Ох.

х
у

7. у < 0; у > 0.

8. Функция является неограниченной сверху и снизу.

Упражнения:

1. Дана функция . Найти: f (0), f (- 1), f (1), f ( ).

2. Найти область определения функции:

1) ; 2) ; 3) .

6. Квадратичная функция, ее свойства и графики

Определение: Функция вида , где a, b, c - действительные числа, причем а ¹ 0, называется квадратичной функцией.

Замечание: Графиком квадратичной функцииявляется парабола, по-разному расположенная относительно координатных осей.

Частные случаи:

у
х
у
у
х
х


Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

(b = 0, c = 0) (b = 0) (c = 0)

Общий случай: (b ¹ 0, c ¹ 0)

  1. Область определения функции: Х = R.
  2. Координаты вершины параболы А ( т, п ) определяются по формулам:

.

  1. Множество значений функции: при а > 0 ;

при а < 0 .

  1. Функция ни четная ни нечетная, так как .

.

х
у
т
п
т
п
т
т
п
п
у
х


Рис. 4 Рис. 5

а > 0, b ¹ 0, c ¹ 0 а < 0, b ¹ 0, c ¹ 0

  1. Функция не монотонная:

при а > 0 у - убывает;

у - возрастает;

при а < 0 у - возрастает;

у - убывает.

  1. Функция не обратимая, так как не монотонная.
  2. Нули функции:

;

; х1;2 - нули функции;

; х - нуль функции;

; нулей функции нет.

  1. Промежутки знакопостоянства:

х
х
х
х1
х2
х
+
+
-
+
+
+
+
+


Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

а > 0; D > 0; а > 0; D = 0; а > 0; D < 0;

х
х
х
х1
х2
х
+
-
-
-
-
-
-
-

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

а < 0; D > 0; а < 0; D = 0; а < 0; D < 0;

  1. При функция ограниченная снизу, так как при любом ; при функция ограниченная сверху, так как при любом .

7. Уравнения с одной переменной

7.1. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число а, если , и противоположное число - а, если .

Обозначение: - модуль числа а.

Замечание:

1. Из определения следует, что при любом действительном а .

2. Модуль числа равен расстоянию от точки, изображающей данное действительное число на числовой оси, до нуля.

- 2
3,5
х
- 1
½2½
½- 2½
½3,5½
½0½


½- 2½= 2; ½2½= 2; ½3,5½= 3,5; ½0½= 0.

3. ½b - а½ - расстояние между точками, изображающими на числовой оси числа а и b.

a
х
½b½
½a½
½b - a½
b
b
х
½а½
½b½
½b - a½
a


 

 

½b - а½= b - а , если b > а ½b - а½= а - b , если b < а

Способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля:

1. Раскрытие модуля по определению.

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

3. Разбиение на промежутки.

Пример:

1. .

Решение:

Так как при любом х , то уравнение решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

2. .

Решение:

Раскроем по определению:

Ответ: х1 = 4; х2 = - 1 .

Теорема: Если обе части уравнения , где при всех значениях х из области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень п , то получится уравнение , равносильное данному.

3. .

Решение:

Если х+1 < 0 , то уравнение корней не имеет, так как .

Если х+1 ≥ 0 , то обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

; ; ;

;

; ; ; .

Ответ: ; .

4. .

Решение:

, .

Так как обе части уравнения положительны, возведем их в квадрат:

Û

Û Û ;

;

; ;

; .

Ответ: ; .

5. .

Решение:

1) На числовой прямой отметим значения х, при которых 3 – х = 0, и значения х, при которых х + 2 = 0.

3 – х = 0 при х = 3.

х + 2 = 0 при х = – 2.

2) Числовая прямая разбивается на промежутки: .

Определим знак каждого из двучленов в полученных промежутках:

r PK9fg7/cisynRo0+aqh85w5qDNOdx0EN17UQ0KF8DdNneZ56h6JjKDzjppd6PeIORSmCRo0+aqi0 7A5qDHOzx0EN35aoYZnarzFTr8nsqYzO15iPiBpKETRq9FHjSG4oj3uO7tcIAl/khprDkx3ar6H9 Gl/Cr6GSpH8vqMGyy/G6eJb7Kl5tT++j737HdfcF/K/+BwAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAQUuu m+AAAAAJAQAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbEyPQUvDQBCF74L/YRnBm90kpTWN2ZRS1FMR2gri bZudJqHZ2ZDdJum/dzzpbea9x5tv8vVkWzFg7xtHCuJZBAKpdKahSsHn8e0pBeGDJqNbR6jghh7W xf1drjPjRtrjcAiV4BLymVZQh9BlUvqyRqv9zHVI7J1db3Xgta+k6fXI5baVSRQtpdUN8YVad7it sbwcrlbB+6jHzTx+HXaX8/b2fVx8fO1iVOrxYdq8gAg4hb8w/OIzOhTMdHJXMl60ClarOSdZf05A sL9MUx5OLCSLBGSRy/8fFD8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACU AQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAc/kE0WIJAADI XwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAQUuum+AA AAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAAC8CwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAMkM AAAAAA== ">
3 – х
х
х +2
- 2
+
+
-
-
+
+

3 – х + + -
х +2 - + +

3) Решим уравнение на каждом промежутке:

При ; .

.

При ; .

.

При ; .

Ответ: .

Упражнения:

1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. .

7.2. Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Замечание: Чтобы решить иррациональное уравнение, нужно сначала освободиться от корней, подкоренные выражения которых содержат переменную. Чаще всего этого добиваются возведением в квадрат обеих частей уравнения. Однако при этом могут появиться «посторонние» корни, которые не удовлетворяют данному иррациональному уравнению. Появление «посторонних» корней возможно при расширении области определения данного иррационального уравнения.

 

Вывод: При решении иррациональных уравнений необходима проверка.

 

Пример:

  1. .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ; .

Проверка:

х1 = 2; ; ;

х2 = - 2; ; .

Ответ: .

  1. .

Решение:

Û ;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ; 5 - х = 25; х = - 20.

Проверка:

х = - 20; ; 7 = 7.

Ответ: х = - 20.

  1. .

Решение:

Û Û ;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

; ; х1 = - 3; х2 = 5.

Проверка:

х1 = - 3; ; ; - не существует;

х1 = - 3 - не является корнем данного уравнения.

х2 = 5; ; 8 = 8.

Ответ: х = 5.

  1. .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Умножим обе части уравнения на - 1: ;

;

; ; х1 = 10; х2 = 362.

Проверка:

х1 = 10; ; 8 = 8.

х2 = 362; ; 19 + 27 ¹ 8.

х2 = 362 - не является корнем данного иррационального уравнения.

Ответ: х = 10.

  1. .

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

;

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

; ;

; ;

;

; ; х1 = 2; х2 = .

Проверка:

х1 = 2; ; 3 + 4 = 7; 7 = 7.

х2 = ; ;

;

; ;






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1913; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.172 сек.