Геометрическая оптика 4 глава
В лабораторных условиях в качестве источников УФ-излучения используют электрический разряд в газах и парах металлов. Такое излучение уже не является тепловым и имеет линейчатый спектр.
Измерение УФ-излучения в основном осуществляется фотоэлектрическими приемниками. Индикаторами являются люминесцирующие вещества и фотопластинки.
УФ-излучение необходимо для работы ультрафиолетовых микроскопов (см. § 21.8), люминесцентных микроскопов, для люминесцентного анализа (см. § 24.6). Главное применение УФ-излучения в медицине связано с его специфическим биологическим воздействием, которое обусловлено фотохимическими процессами (см. § 24.9).
§ 22.8. Организм как источник физических полей
Всякое тело является источником физических полей. Термином физическое поле обозначают особое состояние материи, которое проявляется в воздействии на другие тела, находящиеся в этом поле. Физические поля различны по природе. Так, различают гравитационное, электрическое, магнитное, электромагнитное, ядерное поля. Можно рассматривать звук как акустическое поле.
Тело человека как физическое тело тоже является источником физических полей. Регистрация, а также измерение характеристик этих полей могут быть использованы для получения информации о состоянии организма, его органов и тканей, т. е. для целей диагностики.
Наиболее существенны для этого следующие физические поля.
1. 1. Акустическое поле (см. § 6.3, аускультация, фонокардиография).
2. 2. Электрическое поле (см. § 12.5, электрокардиография).
3. 3. Магнитное поле (см. § 13.5, магнитокардиография).
4. 4. Электромагнитное поле (см. § 22.5, термография).
В популярной литературе часто используется термин «биополе», понимая под этим некоторое специфическое влияние организма на окружающие тела или некоторое специфическое излучение биологических объектов. В связи с этим нужно определенно сказать, что организм является источником физических полей и каких-либо особых «биополей» не создает.
Особый вопрос — как представить результат исследования (регистрации) физического поля организма (органов, тканей) для целей диагностики. Делается это по-разному. Так, например, при аускультации врач выслушивает звуки, т. е. субъективно оценивает их громкость и частоту. При электрокардиографии документально фиксируется временная зависимость разности потенциалов на теле пациента, возникающих при сердечной деятельности. При термографии тепловое излучение отображается на экране тепловизора.
РАЗДЕЛ 7
Физика атомов и молекул. Элементы квантовой биофизики
До конца XIX в. атом считали неделимой частицей. Однако открытие электронов и других элементарных частиц убедило ученых в сложном строении атома.
Решающее значение для понимания структуры атома сыграли знаменитые опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Были созданы условия для развития физики атома, которая изучает строение и состояние атомов и смежные вопросы. Это теория атома, атомная оптическая спектроскопия, рентгеновская спектроскопия, радиоспектроскопия и др.
Отдельные вопросы физики атомов и особенно физики молекул перекликаются с вопросами, рассматриваемыми в химии. Четкие границы раздела в этих областях науки отсутствуют.
Врач должен иметь представление о природе физических и физико-химических процессов, происходящих в организме человека. В конечном счете эти процессы «разыгрываются» на молекулярном уровне. Поэтому здесь рассматриваются вопросы, связанные с энергетическими превращениями молекул в биологических системах (хемилюминесценция, фотобиологические явления и др.). Эти темы объединяют термином «квантовая биофизика», видимо, по созвучию с квантовой механикой.
ГЛАВА 23
Волновые свойства частиц. Элементы квантовой механики
Квантовой механикой называют теорию, устанавливающую способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, ядер, атомов, молекул и их систем, в частности кристаллов, и т. д.)- Необычность квантово-механических представлений по сравнению с классической физикой инициировала пересмотр основных физических моделей и представлений, которые казались очевидными и незыблемыми. Прежде всего, это коснулось понятия самих частиц и принципов их движения.
В этой главе дается понятие не только о квантовой механике, но и о тех идеях и опытах, которые привели к этой теории. Здесь также рассматривается электронная микроскопия как метод, основанный на волновых свойствах электронов.
§ 23.1. Гипотеза де Бройля.
Опыты по дифракции электронов и других частиц
Важным этапом в создании квантовой механики явилось установление волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах частиц была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем (1924)1. Эта гипотеза появилась благодаря следующим предпосылкам.
В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и др. стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.
Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц — фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства. Итак, фотон — элементарная частица, движущаяся со скоростью света, обладающая волновыми свойствами и имеющая энергию , где — частота световой волны.
Логично считать, что и другие частицы — электроны, нейтроны также обладают волновыми свойствами.
Выражение для импульса фотона получается из известной формулы Эйнштейна и соотношений и J
(23.1)
где с — скорость света в вакууме, — длина световой волны. Эта формула была использована де Бройлем и для других микрочастиц массой т, движущихся со скоростью v: , откуда
(23.2)
По де Бройлю, движение частицы, например электрона, описывается волновым процессом с характеристической длиной волны , в соответствии с формулой (23.2). Эти волны называют волнами де Бройля.
Гипотеза де Бройля была столь необычной, что многие крупные физики-современники не придали ей какого-либо значения. Несколькими годами позже эта гипотеза получила экспериментальное подтверждение: была обнаружена дифракция электронов.
Найдем зависимость длины волны электрона от ускоряющего напряжения U электрического поля, в котором он движется. Изменение кинетической энергии электрона равно работе сил поля:
Выразим отсюда скорость v и, подставив ее в (23.2), получим
(23.3)
Для получения пучка электронов с достаточной энергией, который можно зафиксировать, например, на экране осциллографа, необходимо ускоряющее напряжение порядка 1 кВ. В этом случае из (23.3) находим = 0,4 • 10~10 м, что соответствует длине волны рентгеновского излучения.
В гл. 19 было отмечено, что дифракция рентгеновских лучей наблюдается на кристаллических телах; следовательно, для дифракции электронов необходимо также использовать кристаллы.
К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля, Дж. П. Томсон и независимо от него П. С. Тартаковский — на металлической фольге (поликристаллическое тело). На рис. 23.1 изображена электронограм-ма — дифракционная картина, полученная от взаимодействия электронов с поликристаллической фольгой. Сравнивая этот рисунок с рис. 19.21, можно заметить сходство дифракции электронов и рентгеновских лучей.
Способностью дифрагировать обладают и другие частицы, как заряженные (протоны, ионы и др.), так и нейтральные (нейтроны, атомы, молекулы).
Аналогично рентгеноструктурному анализу можно применять дифракцию частиц для оценки степени упорядоченности расположения атомов и молекул вещества, а также для измерения параметров кристаллических решеток. В настоящее время широкое распространение имеют методы электронографии (дифракция электронов) и нейтронографии (дифракция нейтронов).
Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?
Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, т. е. отдельных частиц, показали, что при этом электрон
не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различна. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.
1 Гипотеза де Бройля была сформулирована до опытов, подтверждающих волновые свойства частиц. Де Бройль об этом позднее, в 1936 г. писал так: «...не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойственен, как и свет? На первый взгляд такая идея казалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законам классической динамики. Электрон никогда не проявлял волновых свойств, таких, скажем, какие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспериментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фантазия».
§ 23.2. Электронный микроскоп. Понятие об электронной оптике
Волновые свойства частиц можно использовать не только для дифракционного структурного анализа, но и для получения увеличенных изображений предмета.
Открытие волновых свойств электрона сделало возможным создание электронного микроскопа. Предел разрешения оптического микроскопа (21.19) определяется в основном наименьшим значением длины волны света, воспринимаемого глазом человека. Подставив в эту формулу значение длины волны де Бройля (23.3), найдем предел разрешения электронного микроскопа, в котором изображение предмета формируется электронными пучками:
(23.4)
Видно, что предел разрешения z электронного микроскопа зависит от ускоряющего напряжения U, увеличивая которое можно добиться, чтобы предел разрешения был значительно меньше, а разрешающая способность значительно больше, чем у оптического микроскопа.
Электронный микроскоп и его отдельные элементы по своему назначению подобны оптическому, поэтому воспользуемся аналогией с оптикой для объяснения его устройства и принципа действия. Схемы обоих микроскопов изображены на рис. 23.2 (а — оптический; — электронный).
В оптическом микроскопе носителями информации о предмете АВ являются фотоны, свет. Источником света обычно служит лампа накаливания 1. После взаимодействия с предметом (поглощение, рассеяние, дифракция) поток фотонов преобразуется и содержит информацию о предмете. Поток фотонов формируется с помощью линз: конденсора 3, объектива 4, окуляра 5. Изображение А1В1 регистрируется глазом 7 (или фотопластинкой, фотолюминесцирующим экраном и т. д.).
В электронном микроскопе носителем информации об образце являются электроны, а их источником — подогреваемый катод 1. Ускорение электронов и образование пучка осуществляется фокусирующим электродом и анодом — системой, называемой электронной пушкой 2. После взаимодействия с образцом (в основном рассеяние) поток электронов преобразуется и содержит информацию об образце. Формирование потока электронов происходит
под воздействием электрического поля (система электродов и конденсаторов) и магнитного (система катушек с током). Эти системы называют электронными линзами по аналогии с оптическими линзами, которые формируют световой поток (3 — конденсорная; 4 — электронная, служащая объективом; 5 — проекционная). Изображение регистрируется на чувствительной к электронам фотопластинке или катодолюминесцирующем экране 6.
Чтобы оценить предел разрешения электронного микроскопа, подставим в формулу (23.4) ускоряющее напряжение U = 100 кВ и угловую апертуру и порядка 10~2 рад (приблизительно такие углы используют в электронной микроскопии). Получим 2 ~ 0,1 нм; это в сотни раз лучше, чем у оптических микроскопов. Применение ускоряющего напряжения, большего 100 кВ, хотя и повышает разрешающую способность, но сопряжено с техническими сложностями, в частности происходит разрушение исследуемого объекта электронами, имеющими большую скорость. Для биологических тканей из-за проблем, связанных с приготовлением образца, а также с его возможным радиационным повреждением, предел разрешения составляет около 2 нм. Этого достаточно, чтобы увидеть отдельные молекулы. На рис. 23.3 показаны нити белка фстина, имеющие диаметр примерно 6 нм. Видно, что они состоят из двух спирально закрученных цепей молекул белка.
Укажем некоторые особенности эксплуатации электронного микроскопа. В тех частях его, где пролетают электроны, должен быть вакуум, так как в противном случае столкновение электронов с молекулами воздуха (газа) приведет к искажению изображения. Это требование к электронной микроскопии усложняет процедуру исследования, делает аппаратуру более громоздкой и дорогой. Вакуум искажает нативные свойства биологических объектов, а в ряде случаев разрушает или деформирует их.
Для рассматривания в электронном микроскопе пригодны очень тонкие срезы (толщина менее 0,1 мкм), так как электроны сильно поглощаются и рассеиваются веществом.
Для исследования поверхностной геометрической структуры клеток, вирусов и других микрообъектов делают отпечаток их поверхности на тонком слое пластмассы (реплику). Обычно предварительно на реплику в вакууме напыляют под скользящим (малым к поверхности) углом слой сильно рассеивающего электроны тяжелого металла (например, платины), оттеняющий выступы и впадины геометрического рельефа.
К достоинствам электронного микроскопа следует отнести большую разрешающую способность, позволяющую рассматривать крупные молекулы, возможность изменять при необходимости ускоряющее напряжение и, следовательно, предел разрешения, а также сравнительно удобное управление потоком электронов с помощью магнитных и электрических полей.
Наличие волновых и корпускулярных свойств как у фотонов, так и у электронов и других частиц, позволяет ряд положений и
законов оптики распространить и на описание движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях.
Эта аналогия позволила выделить как самостоятельный раздел электронную оптику — область физики, в которой изучается структура пучков заряженных частиц, взаимодействующих с электрическими и магнитными полями. Как и обычную оптику, электронную можно подразделить на геометрическую (лучевую) и волновую (физическую).
В рамках геометрической электронной оптики возможно, в частности, описание движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, а также схематическое построение изображения в электронном микроскопе (см. рис. 23.2, б).
Подход волновой электронной оптики важен в том случае, когда проявляются волновые свойства заряженных частиц. Хорошей иллюстрацией этому является нахождение разрешающей способности (предела разрешения) электронного микроскопа, приведенное в начале параграфа.
§ 23.3. Волновая функция и её физический смысл
Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: Эта функция аналогична функции s (см. § 5.7), описывающей волновой процесс в механике.
Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т. е. не зависящим от времени, то -функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой — от координат:
(23.5)
В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; y-функция координат является вероятностной характеристикой пространственной локализации частицы. Поясним смысл этого утверждения.
Выделим в пространстве достаточно малый объем dV = dxdydz, в пределах которого значения функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dWB частицы в этом объеме пропорциональна объему и определяется, согласно М. Борну, квадратом модуля y-функции:
(23.6)
Отсюда следует физический смысл волновой функции:
(23.7)
т. е. квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, или отношению вероятности нахождения частицы в малом объеме dV к этому объему.
Интегрируя выражение (23.6) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:
(23.8)
Отсюда получаем условие нормировки волновой функции в виде , где интегрирование ведется по всему бесконечному пространству, вероятность нахождения в котором частицы равна единице.
§ 23.4. Соотношения неопределенностей
Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В. Гейзенбергом. Существуют различные пары физических величин (называемые канонически сопряженными переменными), которые могут быть одновременно определены лишь с ограниченной точностью.
Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неопределенности в измерении координаты и проекции импульса на эту координатную ось, например х, равны соответственно
В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, т. е.
В квантовой механике положение принципиально иное: Dх и Dрх, соответствующие одновременному определению х и рх, связаны зависимостью
(23.9)
Таким образом, чем точнее определена координата
,
тем менее точно определена соответствующая проекцияим- импульса , и наоборот. Аналогично для у и г:
(23.10)
Формулы (23.9), (23.10) называют соотношениями неопределенностей для координат и импульсов. Вычисления, проделанные для электрона, показывают, что его локализация внутри атомного ядра невозможна, т. к. в этом случае неопределенность его скорости должна превысить величину скорости света. Действительно, если м (размер ядра атома), то из (23.9) следует, что величина Apv должна превысить , следовательно, неопределенность скорости электрона , тогда как скорость света равна
Еще одной парой канонически сопряженных переменных являются энергия частицы Е и время t. Соотношение неопределенностей для этих переменных имеет вид
(23.11)
где — неопределенность энергии некоторого состояния системы, — время его существования. Соотношение (23.11) означает, что чем короче время существования какого-либо состояния системы, тем больше неопределенность значения энергии этого состояния. Энергетические уровни (дискретные значения энергии) E1 Е2 и т. д. имеют некоторую ширину (рис. 23.4), зависящую от времени пребывания (времени жизни) системы в состояниях, соответствующих этим уровням энергии.
«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии излучаемого фотона и его частоты при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:
(23.12)
Это экспериментально проявляется в уширении спектральных линий.
§ 23.5. Уравнение Шредингера.
Электрон в потенциальной яме
Так как состояние микрочастицы описывают -функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Э. Шредингером (1926). Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется второй закон Ньютона.
Применительно к стационарным состояниям частицы уравнение Шредингера может быть записано так:
(23.13)
где т — масса частицы, Е и Еп — ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени).
Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например, вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид
(23.14)
Одним из наиболее простых примеров использования уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной «потенциальной яме».
Пусть электрон перемещается вдоль оси ОХ только в пределах О < х < I (рис. 23.5). Это означает, что в указанном интервале y-функция отлична от нуля, а вне интервала (х < =0, х >= I) равна нулю. Так какна частицу в выделенном интервале 0 < х < I силовые поля не действуют, то ее потенциальная энергия может иметь любое постоянное значение (наиболее удобно принять Еп = 0). Вне этого интервала электрона нет, т. е. электрон не может выйти за пределы интервала, поэтому в области х <= 0 и х >= I следует счи тать его потенциальную энергию бесконечно большой, а волновую функцию равной нулю (y = 0). На рис. 23.5 показана графическая зависимость En = f(x). Интервал 0 < х < I, удовлетворяющий сформулированным выше условиям, называют одномерной прямоугольной потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками. С учетом ЕП = 0 уравнение Шредингера (23.14) для интервала 0 < х < I имеет вид
(23.14а)
Произведя замену
(23.15)
получим
(23.16)
Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонического колебания (см. § 5.1), решение (5.8) которого запишем в виде
(23.17)
где y0 — амплитуда волновой функции, — ее начальная фаза.
Чтобы найти две постоянные а также возможные зна-
чения w или E, рассмотрим граничные условия с учетом непрерывности волновой функции y на границах интервала:
1) 1) при х = 0, =0;
2) 2) при х = I, = 0.
Подставляя эти значения в (23.17), получаем , Физический смысл здесь имеет только одно значение:
С учетом из (23.17) имеем . Физический смысл здесь имеет только одно значение: , или , откуда
(23.18)
где п — целое число, оно принимает значения 1, 2, 3, ...; п # 0, так как в противном случае = 0 при любом х, что означает отсутствие электрона в потенциальной яме. Число п называют квантовым числом. Из (23.15) находим энергию , что с учетом (23. 18) дает
(23.19)
Индекс п при Е показывает, что различным значениям квантового числа п соответствует и разная энергия.
Подставляя со из (23.18) в (23.17) и учитывая , получаем
(23.20)
Дата добавления: 2020-11-18; просмотров: 299;