Углы Эйлера, матрицы поворота.

Рис 36.

Y

X

N

Y1

Z

Рис 37

Один из наиболее практически удобных выборов трех углов был указан Эйлером, которые будут описаны далее. Отметим линию ON пересечения плоскостей хОу и х'Оу' (рис. 36) и назовем ее, как это принято в астрономических приложениях, линией узлов. Выберем на этой линии положительное направление ON так, чтобы, смотря с него, видеть вращение оси Oz в положительном направлении (т. е. в правой системе осей — против часовой стрелки); как легко видеть, плоскость zOz' перпендикулярна к оси ON. Первый эйлеров угол — угол прецессииψ образован в плоскости хОу линией узлов с неподвижной осью Ох; второй угол – угол нутацииθ – расположен в плоскости zOz' и отсчитывается от оси Oz к оси Oz' в положительном направлении. Третий угол – угол собственного вращения φ– расположен в плоскости x'Oy'. Чтобы выразить направляющие косинусы через углы Эйлера введём матрицы поворота. Рассмотрим первый поворот относительно оси OZ на угол ψ, (рис.37). Введём вектора- столбцы N и X

,

и матрицу поворота .

Тогда , действительно

O

N

Z

Z'

θ

θ

Рис. 38

ось ОZ при этом остаётся неподвижной. Рассмотрим следующий поворот на угол θ вокруг линии узлов ON. Введём вектор столбец и матрицу поворота , тогда Y= . Аналогично можно построить и третью матрицу поворота относительно оси на угол φ, . Подставляя полученные значения матриц поворота, получим или, вводя матрицу , преобразование координат в осуществляется с помощью матрицы α. Проведя несложные перемножения, получим

Каждая из матриц поворота является ортогональной, так как их определитель равен единице, значит и их произведение тоже матрица ортогональная, то есть её определитель равен единице и матрица обратная исходной получается простым её транспонированием. Если , то

(2.23)

Здесь очень важно отметить, что перемножение матриц поворота не является коммутативным, то есть, например .