УЗЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ФЕРМЕННЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Узловые перемещения ферменного КЭ (рис. 4.10) в локальной и глобальной системах координат связаны соотношениями
Представляя данные соотношения в матричной форме
,
где
получаем матрицу преобразования узловых перемещений ферменного КЭ:
.
Направляющие косинусы локальной оси вычисляются через глобальные координаты узлов конечного элемента:
, (4.5.1)
где - длина элемента.
БАЛОЧНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Связь между узловыми перемещениями балочного КЭ (рис. 4.11) в локальной и глобальной системах координат будет такой:
Данную связь можно представить в виде:
где
Здесь - матрица преобразования узловых перемещений балочного КЭ. Направляющие косинусы локальной оси вычисляются по формулам (4.5.1).
РАМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Перемещения узлов рамного КЭ (рис. 4.12) в локальной и глобальной системах координат связаны зависимостями
Вводя векторы
и представляя данные зависимости в виде , получаем матрицу преобразования :
Значения вычисляются по формулам (4.5.1).
ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ПРИ
ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Выберем локальную ось направленной по стороне 1-2 элемента (рис. 4.13). Вторая локальная ось располагается в плоскости элемента. Связь между перемещениями любого узла элемента в локальной и глобальной системах координат имеет вид
.
Здесь
- направляющие косинусы локальных осей .
Выражения для можно представить в матричной форме:
, (4.5.2)
где
.
Тогда связь между узловыми перемещениями и в локальной и глобальной системах координат можно представить в виде
,
где - матрица преобразования, формируемая из блоков :
.
Перейдем к определению направляющих косинусов, входящих в матрицу . Направляющие косинусы локальной оси определяются непосредственно через глобальные координаты узлов 1, 2:
.
Здесь - длина стороны 1-2 элемента. Для определения направляющих косинусов локальной оси введем векторы (рис. 6.4) и найдем векторное произведение:
.
Здесь
- проекции вектора на глобальные оси . Вектор согласно определению векторного произведения направлен перпендикулярно векторам так, чтобы при виде навстречу данному вектору вектор стремился поворачиваться при совмещении с вектором на наименьший угол между этими двумя векторами против хода часовой стрелки.
Далее найдем векторное произведение векторов :
,
где
Согласно прежнему определению вектор получается направленным по локальной оси . Поэтому направляющие косинусы данной оси совпадают с направляющими косинусами вектора :
,
где - длина вектора .
Локальные координаты узлов элемента, необходимые для формирования его матрицы жесткости в локальной системе координат, определяются через глобальные координаты данных узлов с использованием преобразования, аналогичного выражению (4.5.2):
.
При получаем, как и должно быть, .
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2260;