ЭНЕРГИИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
Полная потенциальная энергия любого КЭ состоит из потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил : . Первое слагаемое определяется как работа обобщенных внутренних сил (напряжений) при деформировании КЭ, взятая со знаком “-“, второе слагаемое - есть работа внешних сил КЭ при переходе его из деформированного состояния в исходное (недеформированное) состояние.
Рассмотрим данный вопрос на примере простейшего КЭ - прямолинейного стержня при одноосном однородном напряженном состоянии (рис. 4.3). Из курса сопротивления материалов известно, что при таком состоянии
. (4.2.1)
Здесь - площадь поперечного сечения КЭ, принимаемая постоянной по его длине. По закону Гука . С учетом этого выражение (4.2.1) примет вид
. (4.2.2)
Из выражения (4.2.2) видно, что есть квадратичная форма узловых перемещений КЭ. Найдем потенциал внешних сил (силы приведены к узлам 1, 2 КЭ): . Выражение для - линейная форма узловых перемещений КЭ. Полученная структура и типична для всех видов конечных элементов (различие будет состоять лишь в числе узловых перемещений).
Найдем полную потенциальную энергию КЭ:
. (4.2.3)
В состоянии равновесия КЭ
.
Т.к. и независимы, а , то должны выполнятся условия
,
что приводит к системе уравнений равновесия внутренних и внешних узловых сил КЭ:
.
Полученную систему уравнений можно представить в матричной форме
,
где
- соответственно вектор узловых перемещений, вектор нагрузки и матрица жесткости КЭ.
В справедливости матрицы можно убедиться, определяя коэффициенты жесткости согласно их смыслу в методе перемещений: есть реакция -ой дополнительной связи в основной системе (ОС) от перемещения (рис. 4.4). Это дает
,
,
что соответствует полученным выше результатам (см. матрицу ).
После введения матриц , и выражение (4.2.3) можно представить в матричной форме
, (4.2.4)
характерной для всех типов конечных элементов и для конструкции в целом. Нетрудно проверить, что для рассматриваемого КЭ это дает прежний результат:
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2529;