В ЛОКАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
ФЕРМЕННЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Ферменный КЭ применяется для моделирования прямолинейных стержней конструкции, работающих на растяжение-сжатие (рис. 4.5). Обозначения: 1; 2 - локальные номера узлов КЭ; - локальная ось, - узловые перемещения КЭ в локальной системе координат. Будем считать, что в пределах КЭ погонная нагрузка , продольная жесткость .
Представим перемещение произвольной точки КЭ в виде линейной функции локальной координаты : . Постоянные определяются из условий: . Это дает систему уравнений , из которой следует: . Подставляя в выражение для , получаем
. (4.3.1)
Здесь . Функции распределения имеют вид: .
Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ.
. (4.3.2)
Продольную силу можно связать с перемещением зависимостью
,
с учетом чего выражение (4.3.2) примет вид
.
Для элемента, находящегося в равновесии, справедливо вариационное уравнение Лагранжа
. (4.3.3)
Примем во внимание аппроксимацию (4.3.1): . Подставляя эти выражения в (4.3.3), получаем
.
Отсюда при следует матричное уравнение , где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки КЭ. Получим окончательные выражения для вычисления и :
БАЛОЧНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Балочный КЭ (рис. 4.6) применяется для моделирования стержней конструкции, находящихся в состоянии поперечного изгиба. Для воспроизведения такого состояния в качестве узловых перемещений КЭ принимаются прогибы и углы поворота его узлов. Будем считать, что в пределах КЭ погонная нагрузка , жесткость на изгиб и справедлива гипотеза прямых нормалей, согласно которой .
Представим прогиб в пределах элемента в виде: . Постоянные , определяются из условий:
что приводит к системе уравнений
Из этой системы следует:
Подставляя в выражение для , получаем
Здесь - функции распределения:
Полная потенциальная энергия балочного КЭ определяется выражением
.
Изгибающий момент в каждой точке элемента пропорционален кривизне . С учетом этого получаем
.
В состоянии равновесия конечного элемента . Необходимое условие этого записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа
. (4.3.5)
Согласно (4.3.4) имеем: С учетом этого уравнение (4.3.5) принимает вид
.
Отсюда при следует матричное уравнение равновесия обобщенных внутренних (в левой части) и внешних (в правой части) узловых сил конечного элемента
,
где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки данного элемента.
Получим выражения для вычисления матрицы и вектора :
После нахождения определенных интегралов окончательно имеем:
Положительные направления внешних узловых сил в векторе совпадают с положительными направлениями соответствующих узловых перемещений КЭ (рис. 4.6).
РАМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Рамный КЭ (рис. 4.7) применяется для моделирования стержней конструкции, находящихся в состоянии растяжения-сжатия и поперечного изгиба. Для воспроизведения такого состояния в качестве узловых перемещений рамного КЭ принимаются продольные перемещения прогибы и углы поворота (обобщенные перемещения) его узлов. Порядок следования данных перемещений определяется вектором . Считается, что в пределах элемента погонные нагрузки и жесткости постоянны по его длине.
От перемещений в поперечных сечениях элемента возникает только продольная сила , от , - только поперечная сила и изгибающий момент . Таким образом, состояния растяжения-сжатия и поперечного изгиба элемента являются независимыми. Это дает возможность сформировать матрицу жесткости рамного КЭ из коэффициентов жесткости рассмотренных ранее ферменного и балочного элементов (расположение этих коэффициентов соответствует порядку следования узловых перемещений в векторе , как показано сверху и справа от матрицы ):
.
Аналогично формируется вектор нагрузки рамного КЭ:
.
Положительные направления и порядок следования внешних узловых сил в векторе совпадают с положительными направлениями и порядком соответствующих узловых перемещений КЭ (рис. 4.7).
ТРЕУГОЛЬНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ
Треугольный КЭ при плоском напряженном состоянии (ПНС) (рис. 4.8) используется для моделирования пластин, нагруженных в их плоскости, а также безмоментных оболочек. Считается, что в пределах элемента поверхностные силы и толщина имеют постоянные значения.
Представим перемещение произвольной точки элемента в виде . Постоянные определяются из условий: . Это дает систему уравнений
Для решения данной системы используем определители:
Отсюда получаем
Здесь - площадь элемента ( , если узлы 1, 2, 3 элемента следуют против хода часовой стрелки).
Подставляя в выражение для , получаем
Здесь - функции распределения.
В аналогичном виде (через те же функции ) можно представить перемещение : . Полученные выражения для перемещений и можно записать в виде одного матричного равенства:
, (4.3.6)
где
- соответственно матричная функция распределения и вектор узловых перемещений КЭ.
Перейдем к определению полной потенциальной энергии КЭ:
. (4.3.7)
Здесь - соответственно матрица-строка и матрица-столбец с компонентами деформированного и напряженного состояний в произвольной точке КЭ. Векторы и связаны физической зависимостью (обобщенным законом Гука)
, (4.3.8)
где - матрица упругих свойств материала, зависящая от типа материала и его напряженного состояния. Материал принимается изотропным, а напряженное состояние его, как отмечено выше, считается плоским. В этом случае
.
С учетом (4.3.8) и постоянства выражение (4.3.7) можно представить в виде
.
Деформации определяются через перемещения :
.
Оператор при плоском напряженном состоянии имеет вид
.
Для перехода от перемещений к узловым перемещениям конечного элемента воспользуемся аппроксимацией (4.3.6):
.
Таким образом, полная потенциальная энергия в конечном итоге представляется как функция узловых перемещений КЭ:
.
Отсюда получаем вариационное уравнение Лагранжа
,
из которого следует матричное уравнение равновесия внутренних и внешних узловых сил конечного элемента
,
где - соответственно матрица жесткости и вектор нагрузки данного элемента:
Определим матрицу :
Отсюда видно, что матрица в пределах элемента постоянна. С учетом этого выражение для вычисления матрицы окончательно будет таким:
.
Найдем вектор
Функции линейно зависят от координат и обладают свойствами: в узле 1 в узле 2 в узле 3 . Определенные интегралы вычисляются исходя из их геометрического смысла: каждый интеграл - есть объем пирамиды с единичной высотой и основанием (рис. 4.9). Отсюда . С учетом этого получаем окончательное выражение для вычисления вектора
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2646;