РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО СТАТИСТИКЕ

Тема 1. Сводка и группировка

Пример 1.

Численность осужденных в регионе распределяется по возрастам следующим образом:

Определить, в какой возрастной группе численность осужденных на 1000 человек была больше, если распределение населения региона по возрастным группам следующее:

Решение

Для приведения данных в сопоставимый вид необходимо выполнить группировку (методом долевой перегруппировки и укрупнения интервалов) распределения населения региона по возрастным группам, образуя новые группы со следующими интервалами: 0 – 13, 14 – 17, 18 – 24, 25 – 29, 30 – 49, 50 и старше.

В первую новую группу [0 – 13] войдет полностью первая возрастная группа населения и часть второй группы из таблицы. От интервала второй группы нужно взять 4 части. Величина интервала этой группы составляет 10. Следовательно, нужно взять от нее 4/10 (4:10). Такую же часть во вновь образуемую первую группу надо взять и от численности, т.е. 405,5 × (4:10)= 162,2 тыс. чел. Тогда и в новой первой группе численность населения будет: 429,4 + 162,2 = 591,6 тыс. чел.

Вторую новую группу [14 – 17] образует часть населения второй возрастной группы [10 – 19] из таблицы: 405,5 × (4:10)= 162,2 тыс. чел.

Во вновь образованную третью группу [18 – 24] войдет часть населения второй группы [10 – 19] и часть третьей группы [20 – 29] из таблицы:

405,5 × (2:10) + 377 × (5:10)= 269,6 тыс. чел.

Все остальные группы определяются аналогично.

В результате перегруппировки получим:

Используя группировку осужденных и вторичную группировку распределения населения по возрасту, рассчитаем численность осужденных на 1000 человек населения в виде относительной величины интенсивности:

.

Для возраста [14 – 17]: (1,959/162,2) × 1000 = 12,1 чел. на 1000 чел.

Для возраста [18 – 24]: (2,673/269,6) × 1000 = 9,9 чел. на 1000 чел. и т.д.

Результаты представим в табличном виде:

Итак, больше всего осужденных на 1000 человек населения было в возрастной группе 14 – 17 лет.

Тема 2. Статистические величины

Пример 2.

Крестьянские хозяйства подразделяются по размерам земельных угодий следующим образом:

Рассчитать:

1) средний размер земельных угодий;

2) показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонения, коэффициент вариации; оценить количественную однородность совокупности;

3) моду и медиану.

Решение

Для расчета требуемых показателей следует перейти от вариационного ряда к дискретному. Для этого находится середина каждого интервала. Расчет показателей выполним в табличном виде:

Земель-ные угодья, га	Число хо-зяйств, ед.							Нако- плен-ные час-тоты	Плот-ность
До 3		2,5		57,4		3294,76	98842,8
4 – 5		4,5		55,4		3069,16	153458,0
6 – 10				51,9		2693,61	1077444,0
11 – 20		15,5		44,4		1971,36	1577088,0
21 – 50		35,5		24,4		595,36	1071648,0
51 – 70		60,5		0,6		0,36	216,0
71 – 100		85,5		25,6		655,36	458752,0		23,3
101 – 200		150,5		90,6		8208,36	5745852,0
201 и больше		250,5		190,6		36328,36	4359403,2		1,2
Итого			∑=311360		∑=209264		∑=14542704

1. Средний размер земельных угодий на одно крестьянское хозяйство определяется по формуле:

,

где среднее значение признак; серединное значение интервала, в котором изменяется варианта (значение) усредняемого признака; частота, с которой встречается данное значение усредняемого признака.

(га).

2. К показателям вариации относятся:

а) размах вариации:

,

где максимальное значение признака (максимальное серединное значение интервала), минимальное значение признака;

б) среднее линейное отклонение:

;

в) среднее квадратическое отклонение:

;

г) коэффициент вариации:

.

Рассчитаем указанные показатели вариации.

Размах вариации:

(га).

Среднее линейное отклонение:

(га).

Среднее квадратическое отклонение:

(га).

Коэффициент вариации:

(88,2 %).

Крестьянские угодья количественно неоднородны по размеру земельных угодий.

3. Мода и медиана относятся к особому виду средних величин – структурным средним.

Мода – это наиболее часто встречаемое значение признака.

Медиана – величина признака у единицы, находящейся в середине упорядоченного ряда.

В интервальных рядах распределения структурные средние рассчитываются по особым формулам.

При расчете моды можно применить следующую формулу:

.

Здесь начало модального интервала, модальный интервал – интервал, в котором достигает максимума величина отношение частоты интервала к его величине; величина соответственно модального, до- и послемодального интервалов; частота до- и послемодального интервалов соответственно.

Примечание

Пример 3.

Определить с вероятностью 0,954 границы изменения среднего значения признака в генеральной совокупности, если известно следующее ее распределение, основанное на результатах повторного выборочного обследования:

Решение

Среднее значение признака в генеральной совокупности находится в интервале:

,

где среднее значение признака в генеральной совокупности, среднее значение признака в выборочной совокупности, предельная ошибка выборочной средней.

Для повторного отбора:

,

где коэффициент доверия, дисперсия признака в выборочной совокупности, объем выборки.

Определяем .

1. Среднее значение признака по выборке:

.

2. Выборочная дисперсия:

.

Имеем:

, и окончательно .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно предположить, что среднее значение признака в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 9,36 до 11,24.

Пример 4.

Партия роз (80000 шт.), поступивших из Голландии, была подвергнута выбраковке. Для этого было обследовано 800 роз, отобранных при помощи механического способа отбора. Среди обследованных обнаружено 160 бракованных.

Определить с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от некачественной транспортировки, если цена приобретения розы 10 руб.

Решение

Чтобы узнать возможный размер убытка, определим процент брака во всей партии.

Доля бракованных роз:

Ω_брака = .

Предельная ошибка доли при повторном отборе определяется соотношением:

,

где выборочная доля, коэффициент доверия, объем выборки. Подстановка числовых значений в формулу дает:

.

Пределы доли бракованных роз и убытков соответственно равны:

P_брака = 0,2 ± 0,04; 0,16 ≤ P_брака ≤ 0,24.

Возможный размер убытка (У) находится в пределах:

или 128,0 тыс. руб. ≤ У ≤ 192,0 тыс. руб.

Тема 4. Ряды динамики

Пример 5.

По данным о числе казненных и помилованных заключенных рассчитать по каждому ряду в отдельности абсолютные (цепные и базисные) и средние показатели динамики. Результаты расчетов представить в табличном виде.

Решение

Рассчитаем все показатели по ряду динамики, характеризующему число казненных:

1) абсолютный прирост:

Δ^цеп = ,

где Δ^цеп – цепной абсолютный прирост значений признака (прирост по сравнению с предыдущим моментом (периодом) времени); значение уровня ряда в момент (период) времени и соответственно;

Δ^баз = ,

где Δ^баз – базисный абсолютный прирост значений признака (прирост по сравнению с моментом (периодом) времени, принятым за базу); значение уровня ряда в момент (период) времени, принятый за базу сравнения

2) темп роста:

где Т цепной темп роста (темп роста по сравнению с предыдущим моментом времени).

Т (46,9 %);

где Т базисный темп роста (темп роста по сравнению с моментом времени, принятым за базу сравнения).

Т (32,2 %);

3) темп прироста:

4) абсолютное значение 1 % прироста:

;

;

Расчетная таблица

5) средние показатели:

а) средний уровень:

;

б) средний абсолютный прирост:

;

в) средний темп роста:

,

где число базисных темпов роста;

.

Пример 6.

Официальный курс рубля к американскому доллару и объем продаж валюты на торгах ММВБ в 1996 г. представлен в таблице:

Требуется:

1) Рассчитать уравнение регрессии и оценить его надежность.

2) На основе рассчитанного уравнения регрессии определить:

а) на сколько увеличится или уменьшится объем продаж при росте курса на 1 пункт;

б) какой рынок («продавца» или «покупателя») сложился за анализируемый промежуток времени?

Решение

Поэтапно выполняются следующие действия:

1. Исключение авторегрессии.

Необходимо от исходных рядов динамики перейти к новым, построенным, например, по первым разностям:

;

.

Полученные первые разности вместе с исходными данными представим в расчетной таблице 1.

Расчетная таблица 1

Дата	Курс американского доллара, руб. за 1 $	Объем продаж, $
02.07		―	15 103	―
03.07			21 087
05.07			24 819
09.07			28 369
10.07			11 099	–17270
11.07			13 869
12.07		–2	11 530	–2339
16.07			12 316
17.07			28 933
18.07			16 306	–12627
19.07				–10448
20.07
23.07			17 785
24.07			13 976	–3809
25.07			35 545
26.07			22 036	–13509
27.07			35 522
30.07			32 717	–2805
31.07				– 24845

2. По новым уровням ( и ) строится уравнение регрессии:

.

Параметры уравнения регрессии рассчитываются по следующим формулам:

;

.

Результаты вычислений представим в расчетной таблице 2.

;

;

.

Полученные параметры можно охарактеризовать следующим образом:

параметр показывает, что средний абсолютный прирост объема продаж до июля 1996 г. составлял –501,19 доллара;

параметр , называемый силой связи, показывает, что при росте курса на 1 пункт отрицательный прирост объема продаж уменьшится на 24,87 доллара.

3. Оценим уравнение регрессии на надежность по критерию Фишера:

,

где число параметров функции, описывающей тенденцию; число уровней ряда; факторная дисперсия; общая дисперсия; остаточная дисперсия.

Расчетная таблица 2

Дата
02.07	―	―	―	―	―	―
03.07				29 920	35 808 256	–376,84
05.07					13 927 824	–476,32
09.07				14 200	12 602 500	–401,71
10.07		–17270		–34 540	298 252 900	–451,45
11.07					7 672 900	–451,45
12.07	–2	–2339			5 470 921	–550,93
16.07					617 796	–401,71
17.07				16 617	276 124 689	–476,32
18.07		–12627		–50 508	159 441 129	–401,71
19.07		–10448		–104 480	109 160 704	–252,49
20.07					1 194 649	–351,97
23.07				97 506	117 375 556	–277,36
24.07		–3809		–15 236	14 508 481	–401,71
25.07				129 414	465 221 761	–351,97
26.07		–13509		–67 545	182 493 081	–376,84
27.07				26 972	182 872 196	–451,45
30.07		–2805		–16 830	7 868 025	–351,97
31.07		– 24845		–74 535	617 274 025	–426,58
Итого		– 7231		–25 393	2 506 887 393	–7230,78

Подставляя числовые данные в формулы, получим:

;

;

;

;

;

.

Так как , то уравнение регрессии значимо, т.е. построенное уравнение связи адекватно отражает сложившуюся зависимость.

4. Для характеристики рынка, сложившегося на торгах в июле, необходимо рассчитать коэффициент корреляции между курсом американского доллара и объемом продаж:

.

Так как коэффициент корреляции отрицательный, то можно сделать вывод, что в июле на торгах ММВБ сложился рынок «покупателя».

Тема 5. Индексы

Пример 7.

Данные о продаже товаров на рынке представлены в следующей таблице:

Определить:

1) индивидуальные индексы цен и объема проданного товара;

2) общий индекс товарооборота;

3) общий индекс физического объема товарооборота;

4) общий индекс цен;

5) прирост товарооборота – всего, в том числе изменения цен и объема продажи товаров.

Показать связь между исчисленными индексами.

Решение

1. Индивидуальные индексы равны:

а) цен ― ; б) количества проданных товаров ― .

Так, для яблок (126,3 %), т.е. цена на яблоки увеличилась на 26,3 %.

(111,1 %), т.е. количество проданных яблок увеличилось на 11,1 %.

Соответствующие индексы для моркови равны:

(83,3 %) и (66,7 %.

2. Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле:

(93,0 %).

Следовательно, товарооборот в июле снизился на 7 % по сравнению с июнем.

3. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) вычисляется по формуле:

(86,3 %).

Значит, количество проданных товаров в июле было меньше на 13,7 %, чем в июне.

4. Общий индекс цен равен:

(107,8 %),

т.е. цены на оба товара в среднем выросли на 7,8 %.

5. Прирост или снижение товарооборота вычисляется как разница между числителем и знаменателем индекса товарооборота:

(тыс. руб.).

Это снижение обусловлено изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров.

Прирост за счет изменения цен составил:

(тыс. руб.),

снижение за счет изменения количества проданных товаров:

(тыс. руб.).

Следовательно, снижение товарооборота на 135 тыс. руб. произошло за счет сокращения количества проданных товаров на 265 тыс. руб. и за счет роста цен на 130 тыс. руб. [(-265)+(+130) = –135 тыс. руб.].

Между исчисленными индексами существует связь:

.

Пример 8.

Имеются следующие данные о выпуске продукции А по двум заводам района:

Завод	Предыдущий период	Отчетный период
Произведено продукции, тыс. шт.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.	Удельный вес продукции завода	Произведено продукции, тыс. шт.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.	Удельный вес продукции завода
			0,50			0,40
			0,50			0,60
Итого		―	1,00		―	1,00

Определить индексы себестоимости продукции:

1) переменного состава;

2) фиксированного состава;

3) влияния структурных сдвигов.

Решение

1. Определим индекс себестоимости переменного состава, который равен соотношению средней себестоимости продукции по двум заводам:

,

т.е.

Индекс показывает, что средняя себестоимость изделия по двум заводам снизилась на 3,6 %. Это снижение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры удельного веса продукции заводов. Выявим влияние каждого из этих факторов на динамику средней себестоимости, исчислив индексы себестоимости фиксированного состава и влияния структурных сдвигов.

2) Индекс себестоимости фиксированного состава:

(98,1 %).

Себестоимость продукции по двум заводам в среднем снизилась на 1,9 %.

3) Индекс влияния структурных сдвигов:

,

т.е.

Средняя себестоимость изделия в отчетном периоде снизилась дополнительно на 1,8 % за счет изменения структуры, т.е. за счет роста удельного веса продукции завода 2 с 50 % до 60 % (здесь уровень себестоимости был ниже по сравнению с заводом 1).

Исчисленные выше индексы можно вычислить по удельным весам продукции заводов, выраженным в коэффициентах:

а) ;

б) ;

в) .

Связь между вычисленными индексами:

.

Тема 6. Анализ структуры и структурных изменений

Пример 9.

По одному из предприятий пищевой промышленности имеются данные о составе затрат на производство продукции (тыс. руб.):

Оценить эффективность изменения структуры затрат.

Решение

Сведения о фактической и плановой сумме затрат по статьям в расчете на фактический объем произведенной продукции обозначим через величины и . По этим данным определяем:

1. Абсолютный прирост по й статье затрат:

– ; (тыс. руб.).

2. Процент изменения затрат по й статье:

; .

3. Процент прироста по отношению к итоговой сумме затрат (по плановой калькуляции):

; .

4. Удельный вес данной статьи затрат в общей сумме при плановой структуре:

; .

5. Фактический удельный вес в общей сумме в общих затратах:

; .

6. Изменение удельного веса данной статьи затрат:

; процентных пункта.

7. Возможная сумма фактических затрат по данной статье при сохранении плановой структуры:

; .

8. Прирост затрат по данной статье в связи с общим снижением или повышением затрат на производство продукции:

; (тыс. руб.).

9. Прирост (уменьшение) затрат по данной статье в связи с изменением ее удельного веса в общей сумме по сравнению с затратами по данной статье при плановой структуре:

; (тыс. руб.).

Таким образом, изменение суммы затрат по данной статье состоит из изменения за счет общего снижения или увеличения себестоимости продукции (п. 8) и изменения за счет структурных сдвигов в составе затрат (п. 9), т.е.

; (тыс. руб.).

Прирост за счет структурных сдвигов можно определить и иначе, когда возможная сумма затрат (п. 7) рассчитывается исходя из распространения на сумму затрат по плановым нормативам фактической структуры себестоимости, т.е.

; (тыс. руб.).

В этом случае получаем другие показатели распределения прироста.

Пример 10.

Кожевенно-обувной комбинат реализует свою продукцию через сеть клиентов с таким товарооборотом: