Прямая на плоскости

<3 4 5 678 9 >

1. Положение прямой L на плоскости относительно прямоугольной системы координат xOy однозначно определено, если задан направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точки В этом случае радиус-вектор произвольной точки задается формулой

(15)

где

Уравнение (15) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

2. Если координаты точки , которая лежит на прямой , координаты направляющего вектора, то прямая задается параметрическими уравнениями

3. Если направляющий вектор, такой, что , и точка, через которую проходит прямая, то верно каноническое уравнение:

(16)

4. Если L не параллельна Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:

y – y₀ = k(x – x₀).

В случае, если M₀(0, b) – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано так:

y = kx + b.

5. Координаты направляющего вектора прямой L могут быть найдены, если известны две точки M₀(x₀, y₀) и M₁(x₁, y₁) этой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(17)

6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M₀(a, 0) и M₁(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан нормальный вектор этой прямой и точка Условие перпендикулярности векторов позволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его координатной форме:

A(x – x₀) + + B(y – y₀) = 0 или

Ax + By + C = 0, (18)

где C = –Ax₀ – By₀.

Уравнение (18) называется общим уравнением прямой L.

8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т.е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

xcosα + ycosβ – p = 0,

где p > 0 – расстояние от начала координат до прямой.

Величина δ(M₀, L) = x₀cosα + y₀cosβ – p, где называется отклонением точки М₀ от прямой L. При этом δ < 0, если M₀ и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d(M₀, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

Расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле:

(19)

Угол между прямыми может быть найден с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле:

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны частные случаи:

Здесь L₁ и L₂ – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямых и .

В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ – φ₀) = p,

где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ₀ – угол между полярной осью и перпендикуляром.

Пример 1. Даны вершины треугольника ABC: A(1, 2), B(–1, –3), C(2, –1). Найти:

1) уравнение прямой BC;

2) уравнение высоты AH и ее длину;

3) уравнение медианы BM;

4) угол между прямыми BM и AH;

5) уравнения биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине А.

Решение. 1. Для составления уравнения прямой BC воспользуемся заданными координатами точек B, C и уравнением прямой, проходящей через две заданные точки (17). Так как B(–1, –3), C(2, –1), имеем:

Последнее уравнение приведем к общему уравнению, использовав основное свойство пропорции:

2(x + 1) = 3(y + 3) или 2x – 3y – 7 = 0.

Таким образом, окончательно получаем:

2x – 3y – 7 = 0.

2. Для построения уравнения высоты АН воспользуемся условием перпендикулярности прямых AH и ВС: нормальным вектором прямой ВС является =(2; –3), т.е. ВС . Этот вектор можно рассматривать как направляющий вектор прямой АН. Значит, каноническое уравнение прямой AH, согласно (16), имеет вид:

(20)

где А(1, 2) АН.

Чтобы найти длину высоты АВС, опущенную из вершины А, воспользуемся формулой расстояния (19):

3. Для составления уравнения медианы ВМ найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка AC:

Получаем M(3/2, 1/2). Запишем уравнение прямой BM по двум известным точкам B(–1, –3) и M(3/2, 1/2), используя формулу (17):

.

Если приводить его к общему уравнению, получим

7x – 5y – 8 = 0.

4. Угол φ между прямыми BM и AH найдем, используя угол между их нормальными векторами

Получаем .

5. Пусть точка M(x, y) лежит на биссектрисе AB. Тогда по свойству биссектрисы d(M, AB) = d(M, AC). Запишем уравнения прямым. Получаем

Получаем

.

Аналогично,

т.е. .

Используем формулу расстояния (19):

Значит,

.

По основному свойству пропорции и свойству модуля имеем

.

Итак, получили две биссектрисы (внутреннего и внешнего углов при вершине А):

Пример 2. Даны две точки A(–3, 8) и B(2, 2). На оси Ox найти такую точку M, сумма расстояний от которой до двух заданных точек была бы наименьшей.

Решение. Воспользуемся утверждением, смысл которого состоит в следующем: наименьшее расстояние между двумя точками достигается в случае движения по прямой. Тогда задача будет заключаться в поиске точки пересечения прямой AB¢ (рис. 11) с осью Ox, где B¢ – точка, симметричная точке В относительно оси Ox (или в нахождении точки пересечения прямой A¢B с осью Ox, где A¢ – точка, симметричная А относительно Ox).