Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Составьте общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей:

1) через точку M₀(1, 2) перпендикулярно вектору

2) через точку M₀(–2, 3) параллельно вектору

3) через две точки M₁(–1, 3) и M₂(2, –3).

1.2. Составьте уравнение «в отрезках» прямой 2x + 3y – 6 = 0.

1.3. Определите угловой коэффициент прямой и постройте ее в прямоугольной системе координат xOy.

1.4. Прямая задана параметрическими уравнениями . Найдите:

1) направляющий вектор прямой;

2) координаты точек, для которых t₁ = 3, t₂ = –1, t₃ = 0;

3) значения параметра t для точек пересечения прямой с осями координат;

4) среди точек А(–3, 4), В(1, 1), С(9, 1) – принадлежащие данной прямой.

1.5. Определите, какие из следующих пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются:

1) 2x + 3y – 8 = 0 и 4x + 6y – 10 = 0;

2) 2x + 3y – 8 = 0 и

3) 2x + 3y – 8 = 0 и

II уровень

2.1. Напишите параметрические уравнения прямой:

1) y = 2x – 3; 2) 5x – y = 0;

3) 4) 2x – 3 = 0.

2.2. Напишите общее уравнение прямой:

1) 2) 3)

2.3. Найдите угловой коэффициент прямой:

1) 2) 3x + 4y + 5 = 0; 3)

2.4. Дан треугольник АВС: А(1, 1), В(–2, 3), С(4, 7). Напишите уравнения сторон и медианы этого треугольника, проведенной из вершины А.

2.5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(–2, 5) и отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.

2.6. Даны середины М₁(1, 2), М₂(3, 4), М₃(5, –1) сторон треугольника. Составьте уравнения сторон этого треугольника.

2.7. Пусть точки А(1, 5), В(–4, 3), С(2, 9) являются вершинами треугольника АВС. Составьте уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

2.8. Даны уравнения сторон параллелограмма: x + y – 2 = 0, 2x – y + 4 = 0 и точка M(3, 1) пересечения его диагоналей. Составьте уравнения двух других сторон параллелограмма.

2.9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – 5y + 2 = 0, 5x – 2y + 4 = 0 и

1) начало координат;

2) параллельную оси Oy;

3) параллельную прямой 2x – y + 4 = 0;

4) перпендикулярную прямой x + 3y + 2 = 0.

2.10. Найдите расстояние от точки М(2, –1) до прямой, проходящей через точки А(–1, 3) и В(3, 4).

2.11. Даны вершины треугольника А(2, 5), В(1, 3), С(7, 0). Вычислите длины его высот.

2.12. Найдите вершины и величины углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3y = 0, x = 3, x – 2y + 3 = 0.

III уровень

3.1. Даны две вершины A(–6, 2), B(2, –2) треугольника ABC и точка H(1, 2) пересечения его высот. Найдите координаты третьей вершины C.

3.2. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки A(1, 2), B(3, –2), C(5, 6).

3.3. Даны вершины A(1, –2), B(5, 4), C(–2, 0) треугольника. Составьте уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

3.4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку P(–3, –5), отрезок которой между прямыми 2x + 3y – 15 = 0 и 4x – 5y – 12 = 0 в точке P делится пополам.

3.5. Составьте уравнение биссектрисы угла между прямыми x + 2y – 11 = 0 и 3x – 6y – 5 = 0, которому принадлежит точка A(1, –3).

3.6. В полярной системе координат составьте уравнение прямой, проходящей:

1) через полюс и образующей с полярной осью угол π/5;

2) через точку A(5, π/4) перпендикулярно полярной оси.

Эллипс

1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

(21)

где . (22)

Уравнение (21) называется каноническим уравнением эллипса.

Параметры эллипса:

Точки F₁(–c, 0) и F₂(c, 0), где называются фокусами эллипса, при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А₁(–а, 0), А₂(а, 0), В₁(0, –b), B₂(0, b) называются вершинами эллипса, при этом А₁А₂ = 2а образует большую ось эллипса, а В₁В₂ – малую, – центр эллипса.

Рис. 12

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с/a – эксцентриситет эллипса;

– фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r₁ = a + εx, r₂ = a – εx;

– директрисы эллипса.

Для эллипса справедливо: директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

2. Если b > a > 0, то эллипс также задается уравнением (21), для которого вместо условия (22) выполняется условие

. (23)

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, – фокусы (рис. 13). При этом r₁ + r₂ = 2b, ε = c/b, директрисы определяются уравнениями

Рис. 13

При условии имеем (в виде частного случая эллипса) – окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 12).

3. Для параметрического задания эллипса (21) в случаях (22) и (23) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

где

4. Если центр эллипса с полуосями находится в точке , то его уравнение имеет вид

. (24)

Пример 1. Привести уравнение эллипса x² + 4y² = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Сделать чертеж.

Решение. Разделим уравнение x² +4 y² = 16 на 16, после чего получим: По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (21), где а = 4 – большая полуось b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A₁(–4, 0), A₂(4, 0), B₁(0, –2), B₂(0, 2). Так как – половина междуфокусного расстояния, то точки являются фокусами эллипса. Вычисляем эксцентриситет: . Директрисы D₁, D₂ описываются уравнениями

.

Изображаем эллипс – рис. 14.

Рис. 14

Пример 2. Определить параметры эллипса

.

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса . Находим центр эллипса : . Большая полуось , малая полуось , прямые , – главные оси. Половина междуфокусного расстояния , а значит, фокусы , . Эксцентриситет . Директрисы и могут быть описаны с помощью уравнений , (рис.15).

Рис.15

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

1) x² + y² + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x² + y² + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x² + 4y² – 2x + 16y + 13 = 0; 4) x² + 4y² – 2x + 16y + 17 = 0;

5) .

Решение. 1. Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата:

x² + y² + 4x – 2y + 4 =0;

(x² + 4x) + (y² – 2y) + 4 =0;

(x² + 4x + 4) – 4 + (y² – 2y + 1) – 1 + 4 =0;

(x + 2)² + (y – 1)² – 1.

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду:

(x + 2)² + (y – 1)² = 1.

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 16).

Рис. 16

2. Выделяем полные квадраты в левой части уравнения и получаем

(x + 2)² + (y – 1)² = –1.

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение, так называемой, «мнимой окружности» или, проще, оно задает пустое множество точек плоскости.

3. Выделяем полные квадраты:

x² + 4y² – 2x + 16y + 13 =0;

(x² – 2x + 1) – 1 + 4(y² + 4y + 4) – 16 + 13 =0;

(x – 1)² + 4(y + 2) – 17 + 13 =0;

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 4.

Значит, уравнение имеет вид:

или .

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О₁(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 2, малая полуось b = 1 (рис. 17).

Рис. 17

4. После выделения полных квадратов имеем

(x – 1)² + 4(y + 2)² – 17 + 17 =0 или

(x – 1)² + 4(y + 2)²=0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5. Приведем уравнение к каноническому виду

;

;

.

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке , главные оси задаются уравнениями , причем большая полуось , малая полуось (рис.18).

Рис18

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x² + 4y² = 4.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (21):

Значит, и правый фокус Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

Получаем

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид

.

Ее радиус – , центр находится в точке , рис. 19.

Рис. 19

Пример 5.Записать уравнение окружности, проходящей через точку М(1, –2) и точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x² + y² – 2x + 4y – 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим из первого уравнения системы:

x = 7y – 10

и подставим во второе:

(7y – 10)² + y² – 2(7y – 10) + 4y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

y² – 3y + 2 = 0.

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y₁ = 1, y₂ = 2, откуда x₁ = –3, x₂ = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M(1, –2), M₁(4, 2) и M₂(–3, 1). Пусть О₁(x₀, y₀) – центр окружности. Тогда где R – радиус окружности.

Значит,

что равносильно системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю систему, получаем ответ:

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус –

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид: