Операции над векторами в координатной форме

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов , При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора называется осью абсцисс. Oсь y, совпадающая по направлению с вектором – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину

Координатами точки М являются соответственно алгебраические проекции точки М на координатные оси Ox и Oy. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).

Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: Вектор может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов

.

Если на плоскости заданы точки A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), то

,

длина

(5)

Пусть тогда единичный вектор (орт) есть

(6)

При этом координаты орта задают направление вектора и называются направляющими косинусами. Если то

. (7)

Если , то верны формулы

(8)

(9)

(10)

. (11)

Для коллинеарных векторов выполняется

.

Координаты точки C(x_c, y_c), делящей отрезок AB в отношении λ > 0, находят по формулам

(12)

Пример 1. Вектор образует с вектором угол Найти координаты вектора на плоскости, если

Решение. Орт вектора на плоскости xOy имеет координаты . Используя формулы (6) и (7), получаем Так как то .

Пример 2. Найти координаты векторов, определяемых диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Решение. Известно, что сумма и разность векторов и определяют диагонали параллелограмма, построенного на них. Значит, Тогда

и, значит,

Аналогично

Пример 3. Координаты левого конца отрезка AB и его середины M соответственно равны A(–1, –5) и M(3, –2). Найти координаты точки В.

Решение. Пусть В(x_B, y_B). Середина отрезка делит его длину в отношении 1:1, т. е. λ = 1. Значит, из формул (12) имеем

откуда получаем

Приходим к ответу: В(7, 1).

Пример 4. Даны векторы Вычислить:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1. Используя формулу (10), имеем

2. Согласно формулам (8), (9), получаем

Тогда, на основании формулы (10) вычисляем

Получить тот же результат можно и несколько по-другому. Используем свойства скалярного произведения, а затем формулы (5) и (10):

3. Найдем координаты вектора , используя формулы (8) и (9)

Значит, по формуле длины вектора (5) получаем

В качестве второго способа решения примера можно использовать следующий. Поскольку , то

Находим

4. Используем формулу (11) и получаем

Пример 5. Даны векторы Найти косинус угла между векторами и для которых

Решение. Выразим из первого заданного соотношения: Тогда, подставив во второе соотношение, получим откуда

Значит, на основании формулы (11), получаем

Пример 6. Пусть векторы получены из векторов поворотом относительно точки О на угол (рис. 8). Представить произвольный вектор в виде линейной комбинации векторов если

Рис. 8

Решение. Зафиксируем прямоугольную систему координат с единичными векторами В этой системе координат определим направляющие косинусы векторов

Это значит, что

откуда