Аукцион второй цены

Процедура проведения аукциона второй цены включает следующие основные шаги.

1. Участники одновременно выдвигают заявки (ставки - bid) с ценами, которые они готовы заплатить за представленный товар.

2. Побеждает заявка с наибольшей ценой. Победивший игрок выплачивает за товар вторую по величине цену.

В случае, если победителей (с одинаковой ценой) оказывается несколько, то будем считать, что единственная победившая заявка выбирается генератором случайных чисел. В дальнейшем же будем полагать, что значения ставок участников различны.

Введем следующие обозначения.

- множество участников аукциона.

- ценность выставленного на аукционе лота для участника i (private valuation), .

- ставка (bid) участника i в ходе торгов, .

- подситуация торгов, вектор ставок, сделанных всеми участниками аукциона кроме i.

- максимальное значение ставки без учета ставки участника i.

Очевидно, что в общем случае ставка участника может не совпадать с тем, как он на самом деле оценивает данный товар . Более того, как правило, задачей участника является приобрести товар как можно дешевле, тем самым увеличивая собственный выигрыш.

В случае, если , i-ый участник становится победителем, то функция его полезности в аукционе второй цены равна . В аукционе первой цены в случае победы i-го участника можно было бы записать . Если побеждает заявка другого участника , то полезность .

Стоит отметить, что в зависимости от выбранной игроком стратегии поведения и ставок, сделанных другими участниками ( ), полезность может принимать отрицательные значения.

Из приведенных выше соотношений видно, что для игрока i победа или поражение в аукционе, а также полезность полностью определяются значением , и при анализе поведения игрока не имеет смысла рассматривать все возможные подситуации .

Рассмотрим возможные стратегии поведения отдельного игрока.

Рис. 4.1. Аукцион второй цены. Участник выставляет ставку выше личной оценки стоимости товара

1) Игрок заявляет ставку большую, чем его реальная ценность: . Рассмотрим различные подситуации и соответствующие им значения (рис. 4.1).

a) , в этом случае ставка выигрывает , но для победы достаточно указать и ;

b) , в этом случае участник i выигрывает, но получает нулевой выигрыш: ;

c) , в этом случае ставка выигрывает, однако, участник получает отрицательную полезность: ; большую полезность ( ) можно получить при , при этом ставка не выигрывает;

d) , в этом случае ставка не выигрывает, а полезность игрока .

Рис. 4.2. Аукцион второй цены. Участник выставляет ставку ниже личной оценки стоимости товара

2) Игрок заявляет ставку меньшую, чем его реальная ценность: . Аналогично рассмотрим различные подситуации и соответствующие им значения (рис. 4.2).

a) , в этом случае ставка выигрывает с полезностью , а аналогичный результат можно получить с ;

b) , заявка не выигрывает, ; больший выигрыш можно получить при ;

c) , в этом случае ставка не выигрывает, а полезность .

На основе рассмотрения всех возможных соотношений значений можно сделать вывод, что выигрыш игрока может только увеличится при выставлении . Причем приведенные рассуждения верны для каждого участника аукциона.

Таким образом, в аукционе второй цены наилучшим ответом для каждого игрока является назначение ставки равной личной оценке стоимости товара. Из этого следует следующее утверждение.

В аукционе второй цены существует равновесие в правдивых ценах: равновесие по Нэшу, состоящее в том, что все участники назначают цены, равные собственным правдивым оценкам полезности товара. То есть система проведения аукциона мотивирует участников действовать правдиво.

Наличие равновесия в правдивых ценах упрощает жизнь участникам аукциона и гарантирует им неотрицателный выигрыш. Продавец же может быть уверен в правдивости участников и справедливости финальной стоимости товара.

Кроме того, аукцион второй цены максимизирует общественное благо, а именно: , где , если i-й участник побеждает и , если проигрывает (при разыгрывании одного лота, ). Другими словами, товар забирает участник, которому он действительно больше других важен, то есть участник с максимальной личной оценкой данного товара.

Интересно отметить, что данное свойство проявляется в закрытом аукционе, в котором организатор не имеет ни малейшего понятия о личных предпочтениях участников (или даже не имеет представления о личностях участников).