Типовые радиотехнические звенья

Устройства систем РА, имеющие различное конструктивное исполнение и принципы работы, могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями. Устройства систем РА, классифицируемые по виду передаточных функций, называют типовыми радиотехническими звеньями. При моделировании типовых радиотехнических звеньев принимаются следующие допущения:

§ система разбивается на возможно простые звенья;

§ типовое радиотехническое звено имеет лишь одну входную и одну выходную величину и описывается одной передаточной функцией;

§ звенья обладают направленностью действия с входа на выход;

§ состояние звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход.

Передаточная функция типового радиотехнического звена в общем виде представляется как произведение сомножителей следующего вида [3]:

(4.16)

где k, n, T, x, t, z – постоянные, причем k > 0, где n может быть положительным и отрицательным целым числом, T > 0, 0 £ x < 1, t > 0, 0 £ z < 1.

В соответствии с видом сомножителей (4.16) в табл. 4.1 приведены типовые радиотехнические звенья. В ней даны дифференциальные уравнения и передаточные функции этих звеньев, и показано их деление по основным свойствам на три группы: позиционные, интегрирующие и дифференцирующие.

Таблица 4.1 - Типовые звенья радиоавтоматики

Тип звена	Дифференциальное уравнение	Передаточная функция W=W(p)
Позиционные звенья	Идеальное усилительное (безынерционное)
Апериодическое (инерционное)
Апериодическое (инерционное) второго порядка	, где	, где
Колебательное	, где
Консервативное
Интегрирующее	Интегрирующее идеальное
Интегрирующее инерционное
Изодромное		, где k1=kt
Продолжение табл. 4.1 Изодромное второго порядка	, где	, где k1 = 2kxt; k2 = kt2;
Дифференцирующее	Дифференцирующее идеальное
Дифференцирующее инерционное
Форсирующее идеальное
Форсирующее идеальное второго порядка	, где

Примечание: обозначения, принятые в таблице 4.1: k – коэффициент усиления; T, t – постоянные времени; x – коэффициент демпфирования (относительный коэффициент затухания); p – оператор Лапласа и дифференцирования.

Позиционные звенья, кроме консервативного, характеризуются тем, что в каждом из них при подаче на вход постоянной величины с течением времени устанавливается постоянное значение выходной величины. Отношение установившихся значений выходной и входной величин называют передаточным коэффициентом k звена.

В безынерционном (идеальном) звене при скачкообразном изменении входной величины мгновенно без какого-либо запаздывания изменяется и выходная величина – переходного процесса нет. В апериодическом звене выходная величина нарастает монотонно. Продолжительность переходного процесса зависит от второго параметра звена, называемого постоянной времени T. Чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает переходной процесс.

В апериодическом звене второго порядка переходной процесс также монотонный, но его продолжительность зависит от двух постоянных времени T₁, T₂.

Выходная величина колебательного звена в переходном процессе совершает колебания около того значения, которое должно установиться. Затухание колебаний зависит от значения третьего параметра звена, называемого коэффициентом демпфирования x, который лежит в пределах от нуля до единицы. Чем больше x, тем меньше отклонения и тем быстрее заканчивается переходной процесс.

Консервативное звено есть вырожденный случай колебательного звена (x= 0). Возникшие в нем колебания не затухают. Передаточный коэффициент k указывает отношение амплитуды гармонических колебаний выходной величины к постоянной входной величине.

Интегрирующие звенья характеризуются тем, что при постоянном входном воздействии выходная величина неограниченно растет. У идеального интегрирующего звена передаточный коэффициент k определяет скорость этого роста. У реального интегрирующего звена такой режим устанавливается позднее и зависит от постоянной времени T.

В изодромных звеньях имеет место некоторый начальный скачок выходной величины и затем ее неограниченное нарастание. Передаточный коэффициент k изодромного звена первого порядка определяет скорость последующего нарастания выходной величины, а изодромного звена второго порядка – постоянное ускорение, с которым нарастает выходная величина.

Дифференцирующие звенья реагируют лишь на изменения входной величины. Например, если входная величина идеального дифференцирующего звена нарастает с постоянной скоростью, то выходная величина удерживается на постоянном уровне, пропорциональном этой скорости.

В природе идеальных дифференцирующих звеньев нет – они всегда имеют некоторую (хотя бы и очень малую) инерционность. При линейном нарастании входной величины реального дифференцирующего звена постоянное значение его выходной величины устанавливается не сразу, а тем позже, чем больше постоянная времени T.

Форсирующие звенья сочетают в себе свойства позиционного и дифференцирующего звеньев.

В инженерной практике при анализе и исследовании систем РА используют семь видов типовых звеньев: безынерционные, инерционные, интегрирующие, колебательные, идеальные дифференцирующие, реальные дифференцирующие первого порядка и звенья запаздывания. Рассмотрим их основные передаточные свойства.

Безынерционное (пропорциональное) звено. К числу таких звеньев относятся устройства с передаточной функцией , где k – коэффициент передачи звена. Амплитудная и фазочастотная характеристики звена: , ; переходная функция . ЛАЧХ и фазовая частотная характеристика звена не зависит от частоты (рис. 4.10).

Рис. 4.10 - Логарифмические амплитудная (а) и фазовая (б) частотные

характеристики безынерционного звена

Примерами таких звеньев являются потенциометр, полупроводниковый усилитель, операционный усилитель, зубчатая передача и т.п.

Инерционное (апериодическое) звено. К подобным звеньям относятся устройства с передаточной функцией

. (4.17)

Пример инерционного звена – RC-цепочка (рис. 4.11, а). Частотная характеристика инерционного звена имеет вид

.

Рис. 4.11 - Схема (а) и годограф (б) RC-цепи инерционного звена

Вещественная и мнимая частотные характеристики:

; ;

амплитудная и фазовая характеристики:

; . (4.18)

Годограф инерционного звена (рис. 4.11, б) имеет сопрягающую частоту w_с =1/T .

Переходная функция звена находится по формуле (3.10) и имеет вид

.

Импульсная переходная функция находится по формуле (3.16).

Логарифмическая частотная характеристика инерционного звена в соответствии с выражением (3.29) и (4.18) имеет вид

. (4.19)

Предварительно построим приближенную характеристику в диапазоне частот от 0 до сопрягающей частоты w_с=1/Т, пренебрегая в (4.19) слагаемым, зависящим от частоты (оно меньше единицы), получим . Этому выражению соответствует прямая линия, параллельная оси частот (рис. 4.12, а). На частотах больших сопрягающей частоты w_с пренебрежем единицей. Тогда (4.19) будет иметь вид . Так как частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе, то этому выражению соответствует прямая линия с наклоном –20 дБ/дек.

Характеристику, составленную из прямых отрезков L₁ и L₂, называют асимптотической. Наибольшее отклонение асимптотической характеристики от точной получается на сопрягающей частоте; оно равно – 3 дБ. На частотах, отличающихся от сопрягающей на одну октаву, отклонение составляет –1 дБ.

Логарифмическую фазочастотную характеристику (рис. 4.12, б) строят в соответствии с выражением (4.18).

Рис. 4.12 - Логарифмическая амплитудночастотная (а) и фазочастотная (б) характеристики инерционного звена

Интегрирующее звено. К числу таких звеньев относятся устройства с передаточной функцией

. (4.20)

Годограф интегрирующего звена приведен на рис. 4.13.

Примеры интегрирующего звена: электрический двигатель с передаточной функцией (4.15), если в ней пренебречь электромеханической постоянной времени; усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления, в цепь обратной связи которого включен конденсатор.

Вещественная, мнимая и частотные характеристики интегрирующего звена имеют вид:

; ,

амплитудная и фазовая характеристики:

; . (4. 21)

Рис. 4.13 - Годограф частотной характеристики

интегрирующего звена

Логарифмическая АЧХ звена с учетом (3.29) и (4.21) определяется выражением .

Этому уравнению соответствует прямая линия с наклоном –20 дБ/дек (рис. 4.14, а). Логарифмическая ФЧХ (4.21) не зависит от частоты и равна –p/2 (рис. 4.14, б).

Рис. 4.14 - Логарифмическая (а) и фазовая (б) частотная

характеристика интегрирующего звена

Колебательное звено. Передаточная функция звена имеет вид

(4.22)

где x – относительный коэффициент затухания.

Примером колебательного звена является контур, состоящий из индуктивной катушки, резистора и конденсатора (рис. 4.15, а).

Рис. 4.15 - Схема (а) и годограф частотной характеристики (б)

колебательного звена

Амплитудная и фазовая частотные характеристики колебательного звена соответственно имеют вид:

(4.23)

Переходная функция звена в соответствии с (3.10)

,

где .

Если x > 1, то полюсы передаточной функции (4.22) – отрицательные действительные числа, поэтому передаточную функцию звена можно представить в виде

,

где T₁ = 1/l₁; T₂ = 1/l₂.

С учетом (3.29) ЛАЧХ колебательного звена будет определяться выражением

.

Приближенная характеристика звена состоит из двух участков. На участке до сопряженной частоты с наклоном 0 дБ/дек, в диапазоне частот больше сопряженной с наклоном –40 дБ/дек (рис. 4.16).

Рис. 4.16 - Логарифмическая (а) и фазовая (б) частотная

характеристика инерционного звена

Максимальное отклонение точной характеристики от приближенной получается на сопряженной частоте и равно – 20 lgx. Уточнение приближенной характеристики производится расчетным путем. Логарифмическую ФЧХ строят в соответствии с выражением (4.23).

Идеальное дифференцирующее звено. Передаточная функция звена не удовлетворяет условию физической реализуемости, поэтому звено называют идеальным. Годограф звена изображен на рис. 4.17. Частотные характеристики звена имеют вид

; . (4.24)

Рис. 4.17 - Годограф частотной характеристики идеального

дифференцирующего звена

Переходная функция звена имеет вид , где – дельта-функция.

Логарифмическая АЧХ звена в соответствии с (3.29) и (4.24) определяется как

Этому уравнению соответствует прямая линия с наклоном + 20 дБ/дек (рис. 4.18, а). Логарифмическая ФЧХ (4.21) не зависит от частоты и равна + p/2 (рис. 4.18, б).

Рис. 4.18 - Логарифмическая (а) и фазовая (б) частотная характеристика идеального дифференцирующего звена

Дифференцирующее звено первого порядка. Передаточная функция звена дифференцирующего (форсирующего) звена имеет вид (рис. 4.19), а частотная и фазовая характеристики соответственно:

; (4.25)

Рис. 4.19 - Годограф частотной характеристики дифференцирующего

звена первого порядка

Переходная функция звена имеет вид , где - дельта функция.

Логарифмическая частотная характеристика форсирующего звена в соответствии с выражением (3.29) и (4.25) имеет вид

. (4.26)

Приближенная характеристика форсирующего звена в диапазоне частот от 0 до сопряженной частоты w_с=1/Т имеет вид . Этому выражению соответствует прямая линия, параллельная оси частот (рис. 4.20, а). На частотах больших сопряженной частоты w_с, пренебрегая единицей, характеристика (4.26) будет иметь вид . Так как частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе, то этому выражению соответствует прямая линия с наклоном –20 дБ/дек.

Рис. 4.20 - Логарифмическая (а) и фазовая (б) частотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка

Звено запаздывания. Это звено используется для моделирования сдвига входного сигнала во времени, не искажая его ЛАЧХ и фазочастотной характеристик. Передаточная функция звена имеет вид , где T – время запаздывания. Частотные характеристики имеют вид

; .

Годограф звена запаздывания имеет вид окружности с единичным радиусом (рис. 4.21).

Рис. 4.21 - Годограф частотной характеристики

звена запаздывания

Переходная функция, ЛАЧХ и фазочастотная характеристика звена запаздывания, как отмечалось ранее, не искажают характеристики системы РА в целом.