Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.1.1. Сумма 20 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 25% годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет. Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.

Решение, а) Полагая n = 6, Р = 20 тыс. руб., r = 0,25, при наращении сложными процентами по формуле (55) получим:

тыс. руб.

Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычислить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З[1]. В данном случае на пересечении строки, соответствующей числу периодов n = 6, и столбца для т а 25% находим, что значение множителя наращения составляет:

FМ1(25%,6) = 3,8147[2].

Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):

тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае n= 9, то при наращении сложными и простыми процентами соответственно получим:

тыс. руб.,

тыс. руб.

В обоих случаях наращение сложными процентами доставляет большую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заметим, однако, что если бы проценты начислялись за время, меньшее года, то наращение простыми процентами доставило бы большую сумму, чем сложными.

Пример 2.1.2. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях на­числения простых и сложных процентов, если годовая процент­ная ставка равна 30%, периоды наращения различны: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.

Решение. Применяя при Р = 1 и r = 0,3 для простых процентов формулу (9), а для сложных - формулу (55), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде:

(млн. руб.)

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее одного года, то более выгодна схема простых процентов. Так, в частности, при сроке в 180 дней наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов -1,15 млн. руб.; при использовании схемы сложных процентов -1,1402 млн. руб., т.е. получили разницу между суммами в 9,8 тыс. руб. Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально -т более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 30% годовых при использовании схемы простых процентов за 3 года еще не происходит удвоение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов за 3 года исходная сумма увеличивается почти в 2,2 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет и тем более через 20 и 50 лет.

Пример 2.1.3. В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маржа равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.

Решение. Поскольку имеем дело с переменной процентной ставкой, то, полагая в формуле (56) P = 40, m = 3, n =8, n₁ = 3, n₂ = 1, n₃ = 4, i₁ = 0,28, i₂ = 0,29, i₃ ⁼ 0,305 получим:

тыс. руб.

Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по процентной ставке т.е. = =29,37% годовых. С целью проверки найдем наращенную сумму:

тыс. руб.,

т.е. с точностью до единиц рублей получили величину F₈. Если взять более точное значение , например = 29,3697%, то результат проверки составит 313,850 тыс. руб.

Пример 2.1.4. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Возможны ли другие методы начисления процентов?

Решение. При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55). Так как период начисления равен одному году, то n = 3,25 (как правило, при измерении срока в месяцах считают, что месяц равен 1/12 года, т.е. 3 месяца составляют 0,25 года). Далее Р = 50 тыс. руб., r = 0,277, следовательно:

тыс. руб.

Если использовать смешанную схему, то при w = 3, f = 0,25 по формуле (57) получим:

тыс. руб.

т.е. итоговая сумма больше, чем при начислении только сложными процентами.

В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (55) и (57)) возможны и другие методы начисления процентов.

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет, взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть "на 100" из простых процентов за лишнее время, добавленное для достижения целого числа лет. Таким образом, если n = w + f (0<f<1), то добавляем время 1 – f и получаем целое число лет w + 1. Наращенная сумма находится по формуле:

Если же сумму Р(1 + r) учесть простыми процентами "со 100" за лишнее время, то наращенная сумма определяется формулой:

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет и затем полученную сумму нарастать простыми процентами "во 100" за дробную часть года, т.е. применить формулу:

Если обозначить наращенные суммы, найденные по схеме сложных процентов и по смешанной схеме соответственно через и , то справедлива следующая цепочка неравенств:

Поскольку согласно условию примера w+1 = 3+1 = 4, 1-f=1 – 0,25 =0,75 то, применяя последовательно три последние формулы, получим:

тыс. руб.

тыс. руб.

тыс. руб.

Очевидно, полученные значения наращенных сумм удовлетворяют приведенным выше неравенствам.

Пример 2.1.5. Клиент помещает в банк 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.

Решение. а) В случае полугодового начисления процентов продолжительность общего действия контракта не равна целому числу периодов начисления (т.е. не равна целому числу полугодий, поскольку 33 месяца (2,75 года) не делятся нацело на 6). Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40, n = 2,75, m = 2, 57, = 5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), = 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют половину или же можно формально найти таким образом

При реализации схемы сложных процентов:

тыс. руб.

При реализации смешанной схемы:

тыс. руб.

Отметим, что в математике целую часть числа а принято обозначать через [а]. Используя это обозначение, величину определяем таким образом: = [m • n] = [2 • 2,75] = [5,5] = 5.

б) В случае квартального начисления процентов m= 4, r⁽⁴⁾ = 0,26, = [4 • 2,75] = [11] = 11, = 0, т.е. срок помещения капитала равен целому числу кварталов. Поэтому формулы (58) и 59) дают один и тот же результат:

тыс. руб.

Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся формулой (55), в которой n = 11, r = 0,26/4 = 0,065. В связи с этим заметим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FМ1(r,п) = (1 + r)ⁿ , формулу (58) можно записать в виде:

Следовательно, в ряде случаев значения множества можно найти по таблице значений множителя РМ1(r, п), полагая в качестве r и n соответственно и mn (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это).

Пример 2.1.6. Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 1 10% годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления процентов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада составляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начисление по 22%? Финансовый год принять равным 360 дней (месяц – 30 дней).

Решение. а) Обозначим величину вклада через Р.. Вначале рассмотрим вариант 110% годовых. Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно воспользоваться, например, формулой (9), где r= =1,1 , n = 9/12 = 0,75 :

Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, используем формулу (55), где r = 0,22 , n = 3:

Так как F₁ > F₂, то первый вариант выгоднее.

б) Когда срок хранения вклада равен одному году, рассуждая, как и в предыдущем случае, получим соответственно по первому (110%) и второму (22%) вариантам:

т.е. выгоднее второй вариант.

Выясним, начиная с какого момента выгоднее начисление 22% за квартал. Из только что изложенного решения следует, что этот "пограничный" срок хранения больше 9 месяцев, но меньше года, т.е. искомый срок равен n = 0,75+f года, где 0<f<0,25.

Для первого варианта по формуле (9) получим:

Для второго варианта можно применить формулу (57), где r = 0,22, w = 3, и , используя уже введенное обозначение f из искомого срока хранения, в качестве f из формулы (57) надо взять 4f (так как квартал в 4 раза меньше года). В результате получим:

Приравнивая найденные наращенные суммы и сокращая обе части равенства на Р, получим уравнение с одним неизвестным f:

решая которое находим f = 0,018 года, или 6,48 дня, т.е. приблизительно 7 дней.

Прибавляя к 9 месяцам (270 дней) 7 дней, получим величину искомого срока – 277 дней.

Таким образом, в условиях примера до 277 дней выгоднее иметь 110% годовых, а после становится выгоднее начисление по 22% за квартал.

Пример 2.1.7. Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение. а) Бели начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где F_n=4Р, m = 1, r^(m)=r⁽¹⁾=0,3:

года.

При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в k раз (кстати, формула (60) получается аналогично). Так как множитель наращения равен k, то для простых процентов из равенства 1+nr=k получаем: Полагая k= 4, r=0,3, получим: лет.

Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных процентов требуется времени гораздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых процентов.

б) Для случая простых процентов находим:

года,

т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине процентной ставки, используемой при наращении.

Для случая сложных процентов формула (60) согласно усло­вию задачи примет вид (так как F_n=2Р, т = 1, r⁽¹⁾ = r): . Таким образом,

года.

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как "правило 72-х". Это правило заключается в следующем: если r — процентная ставка, выраженная в процентах, то n=72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r. Так, если годовая ставка r = 12%, то применение "правила 72-х" дает значение n = 6 годам (а по формуле (60) получим n = 6,116 года). Если же годовая ставка r = 30% (как в примере), то по правилу n = 2,4 года (а по формуле (60) получили n=2,642 года). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятичных дробях, в формуле алгоритма "правила 72-х" ставка взята в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для конкретной ставки. В литературе можно встретить "правило 70": и аналогичное "правило 71". Отметим также "правило 69": , в соответствии с которым для ставки r = 30% получим года, т.е. достаточно близкое к полученному по точной формуле значению n = 2,642 года.

Пример 2.1.8. Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов: а) каждые полгода; б) каждый месяц?

Решение. а) Так как n = 7, F₇ = ЗР, m = 2, то по формуле (61):

т.е. номинальная процентная ставка должна быть не менее 16,33% годовых.

б) В этом случае m = 12 и поэтому:

Естественно, эта ставка меньше, чем r⁽²⁾, поскольку при одной и той же исходной сумме сложные проценты начисляются в 6 раз чаще. Аналогичное неравенство справедливо и в общем случае, а именно: пусть r^(m) и r^(l) – эквивалентные номинальные годовые процентные ставки и m > l, тогда r^(m) < r^(l).

Пример 2.1.9. Предприниматель может получить ссуду: a) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисления сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение. Относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки – чем она выше, тем выше уровень расходов.

а) Полагая для этого варианта m = 12 , r^(m) = 0,32, получим:

б) Поскольку здесь m = 4, r^(m)= 0,34, то:

Таким образом, первый вариант является более предпочтительным для предпринимателя. Необходимо отметить, что принятие решения не зависит от величины кредита, поскольку критерием является относительный показатель – эффективная ставка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номинальной ставки и количества начислений.

Пример 2.1.10. Определите номинальную процентную ставку, если эффективная годовая процентная ставка равна 40% и сложные проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежемесячно; в) ежедневно.

Решение. Полагаем r_ef =0,4 и пользуемся формулой (62).

а) Так как m = 2, то

или 36,64%

б) Поскольку в этом случае m = 12 , то

, или 34,12% .

в) Считая в году 360 дней, при m = 360 получим:

, или 33,66% .

Если взять в году 365 дней, то, оставляя после запятой 4 знака, получим тот же результат: r⁽³⁶⁰⁾= 33,66%, так как при ежедневном начислении различие между номинальными ставками можно обнаружить при высокой точности вычислений (в данном случае r⁽³⁶⁰⁾ = 0,3366295, r⁽³⁶⁵⁾ = =0,3366273 ).

Заметим, что найденные номинальные ставки r⁽²⁾ , r⁽¹²⁾ и r⁽³⁶⁰⁾ эквивалентны, так как они найдены с помощью одной и той же эффективной ставки. Таким образом, ежегодное начисление сложных процентов по ставке 40% годовых дает тот же результат, что и начисление сложных процентов каждые полгода по ставке 36,64%, или ежемесячно по ставке 34,12%, или ежедневно по ставке 33,66%. Отметим, что r⁽²⁾ > r⁽¹²⁾ > r⁽³⁶⁰⁾ , т.е. величина номинальной процентной ставки убывает, когда количество начислений сложных процентов в году увеличивается.

Пример 2.1.11. В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффективную ставку в этой финансовой сделке.

Решение. Выражая 28 месяцев в годах, получим 7/3 года. Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс. руб., F_n= 85 тыс. руб., n = , находим:

, или 25,53% .

Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в размере 50 тыс. руб. на 7/3 года под процентную ставку 25,53% годовых и начисляются сложные проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:

тыс. руб.

Пример 2.1.12. Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по проектной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегодно; б) ежеквартально?

Решение. Полагаем n = 6, F₆ = 45 тыс. руб.

а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (65) при r = 0,36:

тыс. руб.

б) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (66) при m = 4 и r^(m) = 0,36:

тыс. руб.

Если использовать обозначение множителя дисконтирова­ния FM2(r,n), формулу (66) можно записать в виде:

Поэтому в ряде случаев значения множителя | можно найти по таблице 2 значений множителя FM2(r,n) из приложения 3, полагая в качестве r и n соответственно и mn (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это). В частности, для случая б) имеем и число периодов mn = 4 • 6 = 24. Воспользовавшись таблицей 2 приложения 3, получим: Р = 45 • 0,1264 = 5,688 тыс. руб.

Пример 2.1.13. Оцените, что лучше: получить 16 тыс. руб. через 2 года или 50 тыс. руб. – через 6 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 35% годовых?

Решение. Можно доказать, что для случая сложных процентов и постоянной процентной ставки справедливо утверждение: если одна сумма больше другой в некоторый момент времени, то это неравенство справедливо и для любого момента времени. Поэтому будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, для случая сложных процентов можно оценивать с позиции произвольно выбранного момента времени. Напомним, что в ситуации простых процентов эти утверждения не всегда имеют место.

Так как с позиции текущего момента (формула (65)):

тыс. руб., тыс. руб., то выгоднее получить 16 тыс. руб. через 2 года.

Конечно, можно было проводить все сравнения с позиции будущего: через 6 лет. Тогда определяем наращенную сумму за 4 года капитала в размере 16 тыс. руб.: F₄ =16(1 + 0,35)⁴ = =53,144тыс. руб. и, сравнивая с 50 тыс. руб., приходим к тому же выводу (кстати, выполнив меньшее количество вычислений).

Пример 2.1.14. Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.

Решение. а) Для того чтобы оценить современную ценность суммы денег, необходимо осуществить приведение этой суммы на настоящий момент времени, учитывая возможность инвестирования денег под сложную процентную ставку 30%, т.е. необходимо определить приведенную стоимость 20 тыс. руб. В данном случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая при начислении сложных процентов по ставке 30% станет равной 20 тыс. руб. через 4 года 9 месяцев. Полагая в формуле (65) n = 4,75 , F_4,75 = 20 тыс. руб., r = 0,3, получим:

тыс. руб.

б) В этом случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая получится при наращении сложных процентов на 20 тыс. руб. в течение 2 лет 6 месяцев по ставке 30%. Воспользовавшись формулой (55) при n = 2,5, Р = 20, r = 03, получим:

тыс. руб.

в) Поскольку в этой ситуации 20 тыс. руб. получены в настоящий момент времени, то их современная ценность составляет 20 тыс. руб.

Пример 2.1.15. Господин N поместил в банк 40 тыс. руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 34%. Через полтора года господин N снял со счета 18 тыс. руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.

Решение. Обозначим через х величину суммы, полученной при закрытии счета. Для наглядности изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени, причем одно деление оси времени будет соответствовать одному периоду начисления процентов, т.е. одному полугодию. Сумму, помещенную в банк, изобразим над осью времени, а все изъятия – под осью:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

18 x

Полагая Р = 40 тыс. руб., n = 1,5 , m = 2 , r⁽²⁾ = 0,34 , по формуле (58) получим сумму на счете через полтора года:

тыс. руб.

Поскольку в это время 18 тыс. руб. изымаются, то дальнейшее наращение осуществляется на сумму [ ] тыс. руб., и, таким образом, через 3 года (n = 3) при закрытии счета господин N получит:

тыс. руб.

Заметим, что такое же равенство для нахождения х можно получить, и используя понятие приведенной стоимости, что позволяет единообразно решать многие задачи. Для изложения нового подхода к решению сформулируем задачу в общем виде. Пусть в банк в конце некоторых периодов начисления сложных процентов помещаются на счет и изымаются со счета некоторые суммы. Найдем приведенные к одному моменту стоимости всех сумм и остатка на счете. Тогда справедливо следующее уравнение эквивалентности: сумма приведенных стоимостей всех вкладов равна сумме приведенных стоимостей всех изъятий и приведенной стоимости остатка на счете.

Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для решения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравнение эквивалентности примет вид:

После умножения обеих частей уравнения на множитель и переноса всех известных слагаемых в одну часть равенства, а х – в другую, получим:

x = 40(1+0,17)⁹ – 18(1 + 0,17)⁶,

т.е. пришли к такому же выражению для определения х, как и ранее.

В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид:

т.е. опять получаем то же самое выражение для определения х.

Пример 2.1.16. На вашем счете в банке лежит сумма в 60 тыс. руб. Банк начисляет сложные проценты по процентной ставке 32% годовых. Вам предлагают войти всем вашим капиталом в организацию венчурного предприятия. Представленные экономические расчеты показывают, что через 4 года ваш капитал возрастет в 3,5 раза. Стоит ли принимать это предложение? Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?

Решение. Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции будущего, либо с позиции настоящего. В первом случае анализ основан на сравнении двух сумм, получаемых от вложения в рисковое предприятие и в банковское учреждение с гарантированным доходом. Первая сумма равна 60^.3,5=210 тыс. руб., вторая находится по формуле (55):

тыс. руб.

Приведенный расчет свидетельствует об экономической выгоде сделанного вам предложения. Однако при принятии окончательного решения необходимо по возможности учесть фактор риска.

Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках с использованием формул (65) и (66). В этом случае процентная ставка в множителе дисконтирования устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем, чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, процентная ставка r, используемая в дисконтном множителе, будет в этом случае иметь следующий вид:

r = r_f + r_r

где r_f - безрисковая доходность; r_r - премия за риск.

Допустим, что финансовый консультант рекомендует оценить риск участия в венчурном предприятии путем введения премии в размере 8%. Таким образом, используемая в множителе дисконтирования ставка будет равна 40%. Тогда по формуле (65) можно рассчитать приведенную стоимость ожидаемого поступления при участии в венчурном предприятии:

тыс. руб.

При таких исходных посылках предложение об участии в венчурном предприятии становится невыгодным. Однако следует иметь в виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введения премии в размере 8%. Если же, например, считать достаточной премию в размере 4%, то по формуле (65) получим:

тыс. руб.,

т.е. предложение об участии в венчурном предприятии стано­вится выгодным.

Пример 2.1.17. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 32%. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 9 месяцев; б) на год.

Решение. а) Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-Р – проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени n, а Р определяется с помощью формулы (58), где n = 0,75 , m = 4 , r⁽⁴⁾=0,32 . Итак,

Конечно, можно было и сразу применить формулу (81): устанавливающую эквивалентность простой ставки г и сложной ставки r и сложной ставки r^(m) :

По существу в изложенном предыдущем решении приведена схема вывода этой формулы.

б) Полагая n = 1, воспользуемся сразу формулой (81) или, что то же самое в этом случае, формулой (63):

Таким образом, относительная стоимость привлеченных средств в этом случае равна эффективной ставке.

Пример 2.1.18. Предприниматель получил в банке кредит на 5 лет по процентной ставке 28% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,4% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежегодно сложные проценты на исходную сумму кредита. Как изменится доходность при выдаче кредита на 3 года и на 8 лет?

Решение. Обозначим через Р величину кредита, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,014P, и, следовательно, предпринимателю будет выдана сумма Р – 0,014P = 0,986P . За 5 лет исходная сумма вместе с начисленными процентами составит: F₅ = Р(1 + 0,28)⁵. Теперь по формуле (64) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки:

т.е. r_ef = 28,36% , что больше объявленных банком 28% годовых.

Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для кредитора (банка).

При выдаче кредита на 3 года наращенная сумма составит F₃ = Р(1 + 0,28)³, и, следовательно, доходность для банка будет равна:

т.е. больше, чем при выдаче кредита на 5 лет.

Аналогичным образом при сроке кредита 8 лет получим:

т.е. меньше, чем при выдаче кредита на 5 лет.

Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вывод, что при удержании комиссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность финансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита при ежегодном начислении сложных процентов доход­ность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки будет постоянной и равна 28%.

Пример 2.1.19. Выдана ссуда под процентную ставку 35% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в размере 3% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 3 года; б) 6 лет.

Решение. а) Если Р – величина ссуды, то удержанные комиссионные составят 0,03Р, и поэтому заемщику будет выдана сумма Р – 0,03Р = 0,97Р. Через 3 года заемщик должен возвратить сумму F₃ = Р(1 + 3 • 0,35) = 2,05Р . Следовательно, по формуле (64) доходность сделки для кредитора составит:

или 28,33%

Если бы комиссионные не взыскивались, то

или 27,03%.

Как и следовало ожидать, удержание комиссионных увеличивает доходность сделки для кредитора.

б) При выдаче ссуды на 6 лет наращенная сумма составит F₆ = Р(1 + 6 • 0,35) = 3,1Р и поэтому:

или 21,37%.

Таким образом, увеличение срока ссуды уменьшает доходность сделки для кредитора.

Пример 2.1.20. Вы имеете возможность поместить свои сво­бодные денежные средства в долларах США на полтора года в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как вам лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока – 19 руб. 10 коп, а ожидаемый курс продажи через полтора года - 22 руб. 80 коп.?

Решение. Обозначим имеющееся количество долларов через Р. Помещая их на валютный депозит, через полтора года можно получить (согласно формуле (58)):

долл. США.

Если же имеющиеся Р долларов обменять на рубли, то в соответствии с курсом покупки можно получить 19,1Р руб. Через полтора года наращенная сумма на рублевом депозите составит:

руб.,

что при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст: долл. США. Сравнивая эту величину с наращенной суммой на валютном Депозите, делаем вывод, что лучше поместить доллары на валютный депозит.

Пример 2.1.21. На вклад 200 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.

Решение. Полагая Р = 200 тыс. руб., n = 5 , т = 4 , r⁽⁴⁾ = 0,28 , по формуле (58) находим наращенную сумму до уплаты налога:

тыс. руб.

Сумма налога на проценты составит:

тыс. руб.

Следовательно, после уплаты налога наращенная сумма станет равной величине:

тыс. руб.

Это значение можно получить и по формуле (101), где

Пример 2.1.22. На вклад в 200 тыс. руб. в течение 5 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%. Чему равна величина налога за каждый год?

Решение. Используя обозначения предыдущего примера, итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты находим по формуле (102):

тыс. руб.

Для определения величины налога за каждый год воспользуемся рекуррентным соотношением, следующим из формулы (103): , где k = 2,3,..., n.

Таким образом,