Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.8.1. За три месяца стоимость потребительской корзины возросла с 634 руб. до 692 руб. Определите: а) индекс потребительских цен за три месяца; б) среднемесячный индекс потребительских цен; в) темп инфляции за три месяца; г) среднемесячный темп инфляции.

Решение, а) Полагая = 634 руб., Р₂ = 692 руб., по формуле (39) находим индекс потребительских цен за 3 месяца (t=0,25 года):

Следовательно, за рассматриваемый период пены на некоторый постоянный. потребительский набор товаров выросли в 9,15%.

б) Обозначим через среднемесячный индекс потребительских цен (индекс инфляции). Тогда по формуле (42) при k=3 получим , откуда

в) Темп инфляции за три месяца находим из формулы (41):

т.е. темп инфляции, выраженный в процент, показывает, на сколько процентов выросли цены. Такой же результат получается и по формуле (40):

г) Аналогичным образом, как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулой (41)при t =

Конечно, h₁ можно найти и преобразуя формулу (42). Так как , то

Пример 1.8.2. В течение полугода каждые два месяца цены росли соответственно на 12,9 и 14%. Определите индекс и темп инфляции: а) за полгода; б) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

Решение, а) Поскольку индексы цен за каждые два месяца последовательно равны 1,12; 1,09 и 1,14, то индекс цен (индекс инфляции) за полгода (0,5 части года) найдем по формуле (42):

откуда находим темп инфляции за этот же период:

, т.е. .

б) Поскольку , то среднемесячный индекс инфляции составит:

и поэтому среднемесячный темп инфляции , т.е.

в) Индекс инфляции в среднем за квартал (0,25 части года) можно найти либо по формуле (42):

либо, учитывая, что квартал составляет полгода

и поэтому h_0,25 = 17,97%.

Пример 1.8.3. В 1993 г. инфляция в Сербии и Черногории составила 313 миллионов процентов [Мицкевич, с.24]. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?

Решение. Известно, что при индексе инфляции за период n, равном , сумма P через это время п по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину . В условии примера речь идет о темпе инфляции за год, и поэтому для годового индекса инфляцииимеем = 3130001, а следовательно, ежедневный ( за 1/360 года) индекс инфляции равен величине . Таким образом, надо определить такое количество дней t, чтобы выполнялось равенство . Логарифмируя обе части этого равенства, получим:

откуда:

дня, т.е. примерно 17 дней.

Очевидно, что если считать в году 365 дней, то:

дня

т.е. также примерно 17 дней.

Таким образом, в частности, практически через месяц (через 34 дня) сумма Р по своей покупательной способности в ценах текущего дня составит величину , т.е. потеряет три четверти своей покупательной способности.

Пример 1.8.4. Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 42% годовых при годовом темпе инфляции в 20%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 42% годовых?

Решение. Полагая в формуле (46) n = 1, r =• 0,42, = 1,2, получим:

т.е. доходность с учетом инфляции при начислении простых процентов составляет: =18,33% годовых.

Чтобы иметь реальную доходность 42% в условиях инфляции, необходимо установить процентную ставку, большую,чем 42%. Значение такой ставки находим по формуле (45):

, или 70,4% годовых.

Естественно, можно было воспользоваться и формулой (44), полагая h_n = 0,2:

Пример 1.8.5. Клиент положил на депозит 16 тыс. руб. на полгода под простую процентную ставку 46% годовых. Определите реальную (по своей покупательной способности) сумму, которую получит через полгода клиент, если среднемесячный темп инфляции составлял 3%. Чему равна реальная доходность такой финансовой операции для клиента в виде годовой простой процентной ставки? При какой процентной ставке сумма на депозите реально остается постоянной?

Решение. По формуле (42) находим индекс инфляции за полгода:

По формуле (43) находим наращенную сумму с учетом ее обесценения:

тыс. руб.

Таким образом, по своей покупательной способности 16 тыс. руб. увеличатся за полгода всего на 481 руб. Следовательно, из-за инфляции реальная доходность помещения денег на депозит в виде годовой процентной ставки по формуле (23) составит:

т.е. всего 6,01%, а не 46%. Такой же результат получим, и воспользовавшись формулой (46), в которой n=0,5, r=0,46, :

Сумма на депозите с учетом инфляции не изменится за полгода, если множитель наращения будет равен индексу инфляции, т.е. . Поэтому:

т.е. для нашего примера:

Итак, процентная ставка 38,82% годовых будет просто компенсировать негативное действие инфляции за полгода, и только при ставках, больших 38,82% (так называемых положительных процентных ставках) будет происходить (при наращении) реальное увеличение капитала.

Конечно, при сохранении темпа инфляции 3% в месяц и процентной ставке 38,82% годовых сумма на депозите за год уменьшится. Чтобы она не изменилась за год с учетом инфляции, процентная ставка должна быть больше, чем 38,82%. Действительно, поскольку годовой индекс инфляции составит:

то, применяя последнюю формулу при п = 1, получим:

Пример 1.8.6. Предприниматель получил в банке кредит 80 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 28% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 20%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

Решение. Так как для годового темпа инфляции имеем h_l = 0,2, то по формуле (44) находим искомое значение процентной ставки:

Следовательно, процентная ставка должна быть равной 53,6% годовых, и в соответствии с ней предприниматель через год должен будет возвратить сумму:

тыс. руб.

Очевидно, что процентная ставка, только компенсирующая действие инфляции, равна 20% годовых.

Пример 1.8.7. На сумму 8 тыс. руб. в течение трех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 40% годовых, во втором - 45% годовых, в третьем - 50% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1,5 и 2%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

Решение. Определим вначале наращенную сумму без учета инфляции по формуле (15), полагая Р = 8 тыс. руб., n₁=n₂=n₃=0,25года. i₁ = 0.4, i₂ = 0.45, i₃ = 0,5:

тыс. руб.

Индекс инфляции за три квартала (0,75 года) составит величину:

Теперь можно найти наращенную сумму с учетом инфляции:

тыс. руб.

Реальный доход владельца счета равен:

тыс. руб.

Таким образом, реальную доходность от помещения денег в рост определяем по формуле:

т.е. 13,73% годовых.

Очевидно, что в данном примере множитель наращения с учетом инфляции равен величине:

Пример 1.8.8. Банк выдает кредит по простой процентной ставке 44% годовых, при этом удерживая комиссионные в размере 3,5% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде простой годовой процентной ставки, если кредит выдается: а) на 4 месяца; б) на год. Банк начисляет обыкновенные проценты на исходную сумму кредита, и ежемесячный темп инфляции составляет 2%.

Решение, а) Обозначим величину кредита через Р, тогда банк удерживает в свою пользу комиссионные в размере 0.035Р и поэтому выдает сумму Р - 0.035Р =. 0,965P. За 4 месяца (1/3 года) с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит:

Следовательно, общий доход банка равен 1,0593Р – 0,9б5P=0,0943P. Таким образом, действительная доходность кредитной операции для банка в виде годовой процентной ставки составит:

т.е. r =29,32%годовых.

б) Проводя аналогичные вышеприведенным рассуждения, находим, что в атом случае общий доход банка равен:

и. следовательно, доходность составит:

или 17,66% годовых.

В данном случае доходность меньше, чем в предыдущем пункте, так как за год деньги обесцениваются в большей степени, чем за 4 месяца, да и комиссионные в величину доходности доставляют в три раза меньший относительный вклад за год, чем за 4 месяца.

Пример 1.8.9. Вексель учитывается в банке за три месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции в 4,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 40% годовых?

Решение. По формуле (42) определяем индекс инфляции за 3 месяца (0,25 года):

Изложим два подхода к решению примера. Согласно первому подходу вначале определяем по формуле (45) процентную ставку, обеспечивающую при данной инфляции реальную доходность 40% годовых:

т.е. 102,13% годовых.

Поскольку реальная доходность операции учета должна соответствовать реальной доходности, доставляемой реальной процентной ставкой 40% годовых, то искомая учетная ставка находится по формуле (26), где n = 0,25 и r = 1,0213. Таким образом:

т.е. 81,36% годовых.

При другом подходе вначале находим по формуле (26) значение реальной простой учетной ставки, соответствующее значению реальной процентной ставки 40%:

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивающую в условиях существующей инфляции реальную доходность согласно учетной ставке 36,364%:

Получили тот же результат.

Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за 10 месяцев ( года):

Пусть Р - величина денежной суммы и r - искомая процентная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции находим по формуле (12):

С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет сумма 0,12I и, следовательно, после уплаты величина наращенной суммы составит:

а с учетом инфляции:

Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно г , получим:

т. е. r=83,55% годовых.

Если наращение осуществляется по простой учетной ставке d, то:

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1.2 раза:

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно d, получим d=0,4926, или d= 49,26% годовых.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке r = 83,55% при n = %: