Средняя арифметическая

Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:

, (6.2)

т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.

Например, для значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая
μ = 4.

Центральные отклонения будут следующие:

1–4 = –3, 4–4 = 0, 5–4 = +1, 5–4 = +1, 5–4 = +1,

а сумма центральных отклонений: –3+0+1+1+1 = 0.

Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета: если оказалась неравной нулю, значит, допущена ошибка в вычислениях.

Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину a (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных вариантов будет равна средней арифметической из первоначальных вариантов, увеличенных (или уменьшенных) на величину a. Например, если в разбираемом примере к каждой из первоначальных вариантов 1; 4; 5; 5; 5 прибавить 3, то для полученных величин 4; 7; 8; 8; 8 среднее μ = 7 на 3 больше первоначальной средней μ = 4. Если в этой группе из каждого значения вычесть, например, 1, то для уменьшенных значений 0; 3; 4; 4; 4 средняя μ = 3 будет на 1 меньше первоначальной средней μ = 4.

, (6.3)

Таким образом, если каждое значение умножить на постоянное число a, то средняя арифметическая из измененных вариантов будет точно в a раз больше первоначальной средней арифметической. Если в разбираемом примере все значения 1; 4; 5; 5; 5 умножить на 10, то для полученных увеличенных вариантов (10; 40; 50; 50; 50) средняя арифметическая μ = 40 ровно в 10 раз больше той, которая получена для неувеличенных вариантов (μ= 4).

Если a равно дробному числу, то каждое значение, а также и каждая средняя будут уменьшены во столько же раз. Если в разбираемом примере все значения умножить на 1/5, то средняя арифметическая из уменьшенных вариантов (0,2; 0,8; 1; 1; 1) μ = 0,8 в 5 раз меньше средней арифметической, полученной для неизменных значений (μ = 4).

Пример

Три параллельных определения содержания гемоглобина в крови у одного и того же животного в одно и то же время, проведенные тремя разными лаборантами, дали такие результаты: 75; 80; 70. Наиболее вероятное содержание будет равно средней арифметической из параллельных проб:

Пример

На восьми парных опытных делянках получены следующие отклонения урожая нового сорта кукурузы от стандарта (в пересчете на гектар): +6; +3; –2; –3; +5; 0; –3; +2 ц. Среднее отклонение урожая нового сорта, полученное в проведенном сортоиспытании, будет равно средней арифметической из отдельных разностей:

В некоторых случаях при вычислении средней арифметической общая сумма значений признака делится не на число вариантов, а на другие величины. Так бывает, например, при расчете среднего удоя на одну фуражную корову.

Среднюю из относительных величин можно рассчитывать двумя способами: как среднее отношение и как отношение средних (отношение сумм).

Пример

Четыре повторных посева одного сорта сахарной свеклы при анализах на сахаристость дали следующее содержание сахара (в %): 16; 14; 13; 17. Средняя сахаристость сорта, полученная в данном испытании:

.

В данном случае получено среднее отношение.

Пример

На мясокомбинате за сутки переработано 300 голов крупного рогатого скота. Требуется определить фактический средний выход мяса.

Для этой цели суммарный вес всех туш (в кг) относят к сумме приемных живых весов переработанной группы скота. Оказалось, что первая сумма , вторая сумма . Средний выход в данном случае рассчитывается как отношение сумм:

.