Средняя квадратическая


Средняя квадратическая вычисляется по формуле:

, (6.5)

Она равна корню квадратному из суммы квадратов данных, деленной на их число.

Например, если имеется пять вариантов: 1, 4, 5, 5, 5, то средняя квадратическая:

.

Употребляется средняя квадратическая при расчете средних радиусов окружностей.

Пример

Измерения диаметров колоний, полученных от посева микробов определенного вида, дали следующие результаты (в мм): 15; 20; 10; 25; 30.

Для сравнения этого посева с другими требуется определить средний диаметр колоний. Применив формулу средней квадратической, имеем

.

Средняя арифметическая диаметров:

дает неправильную характеристику группы.

Это можно проверить по правилу единства суммарного действия.

Общая площадь всех пяти колоний была:

3,14× (7,52+102+52+12,52+152) = 1766,25 мм2.

Если взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней арифметической μ = 20, то общая площадь составит 5×З,14×102 = 1570 мм2, что гораздо меньше общей фактической площади.

Если же взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней квадратической S = 21,22 мм2, то общая площадь будет 5×З,14× 10,612 = 1767,4 мм2, т. е. практически той же суммарной площади, которую имели пять измеренных колоний.

Мода

Модой, или модусом, называется такая варианта или класс распределения вариант, который в исследуемой группе особей встречается наиболее часто. В качестве примера рассмотрим распределение, представленное в таблице 6.2.

Таблица 6.2 – Пример распределения

Классы 100 – 119 120 – 139 140 – 159 160 – 179 180 – 199 200 – 219 220 – 239 240 – 259 260 – 279 280 – 299 300 – 319
Частоты

 

В этом распределении наиболее многочисленным является пятый класс (180 – 199) с частотой 250. Это модальный класс.

В качестве первого приближения можно принять за моду средину модального класса, т. е. 190.

Более точное значение моды можно получить по формуле:

, (6.6)

где:

М0 – мода;

Wα – начало модального класса;

k – величина классового промежутка;

f1 – частота класса, предшествующего модальному;

f2 – частота модального класса;

f3 – частота класса, следующего за модальным.

Для приведенного распределения Wα = l80, k = 20, f1 = 160,
f2 = 250, f3 = 240 (таблица 6.3).

Следовательно, мода этого распределения

Обычно, если классы взяты не слишком мелкие, имеется всего один модальный класс.

В некоторых распределениях встречаются два или три модальных класса. Иногда это может быть следствием того, что в изучаемую группу попал разнородный материал, относящийся к разным категориям (более крупной и менее крупной) по изучаемому признаку.

Медиана

Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.

Например, если имеется группа из 9 значений признака; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то медианой этой группы будет 5.

Для многочисленных групп медиану можно рассчитать по формуле:

, (6.7)

где:

Ме – медиана;

Wα – начало того класса, в котором находится медиана;

k – величина классового промежутка; n – общее число данных в группе;

– сумма частот классов (начиная с меньшего), предшествующих классу, в котором находится медиана;

f – частота класса, в котором находится медиана.

Нахождение медианы можно показать для распределения, представленного в таблице 6.3.

Таблица 6.3 – Пример нахождения медианы

Номера классов  
Начала классов 100–120 120–140 140–160 160–180 180–200 200–220 220–240 240–260 260–280 280–300 300–320  
Частоты n=1000
Накопленные частоты  

 

Судя по ряду накопленных частот, медиана находится в шестом классе, так как в первых пяти классах имеется 492 варианта, а меньше медианы должна быть половина всей группы, т. е. 500 вариантов. Недостающие до 500 восемь вариантов находятся в шестом классе.

Для данного распределения Wα = 200, k =20, = 492, f = 240, а медиана равна:

.

Медиана, обладая в полной мере всеми общими свойствами средних величин, дает начало целой серии показателей разнообразия, которые носят общее название квантилей. Квантиль – это такое значение признака, которое отсекает в распределении определенную часть вариантов больше себя и определенную часть вариантов меньше себя. К таким показателям относятся кроме медианы (средней величины) показатели, разнообразия: квартили, децили и перцентили.

Три квартиля разделяют группу на четыре равночисленные части. Второй квартиль равен медиане, а расстояние между третьим и первым квартилями является одним из показателей степени разнообразия значений признака в группе.

Девять децилей разделяют группу на десять равночисленных частей. Пятый дециль равен медиане, а расстояние между девятым и первым децилями служит одним из показателей разнообразия.

Девяносто девять перцентилей делят группу на сто равночисленных частей. Пятидесятый перцентиль равен, медиане; девяносто девятый и первый перцентиль используются иногда в качестве максимума и минимума группы; расстояние между девяносто девятым, и первым перцентилями служит показателем размаха признака и разнообразия вариантов в этой группе.



Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 329;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.