Средняя квадратическая

Средняя квадратическая вычисляется по формуле:

, (6.5)

Она равна корню квадратному из суммы квадратов данных, деленной на их число.

Например, если имеется пять вариантов: 1, 4, 5, 5, 5, то средняя квадратическая:

.

Употребляется средняя квадратическая при расчете средних радиусов окружностей.

Пример

Измерения диаметров колоний, полученных от посева микробов определенного вида, дали следующие результаты (в мм): 15; 20; 10; 25; 30.

Для сравнения этого посева с другими требуется определить средний диаметр колоний. Применив формулу средней квадратической, имеем

.

Средняя арифметическая диаметров:

дает неправильную характеристику группы.

Это можно проверить по правилу единства суммарного действия.

Общая площадь всех пяти колоний была:

3,14× (7,5²+10²+5²+12,5²+15²) = 1766,25 мм².

Если взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней арифметической μ = 20, то общая площадь составит 5×З,14×10² = 1570 мм², что гораздо меньше общей фактической площади.

Если же взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней квадратической S = 21,22 мм², то общая площадь будет 5×З,14× 10,61² = 1767,4 мм², т. е. практически той же суммарной площади, которую имели пять измеренных колоний.

Мода

Модой, или модусом, называется такая варианта или класс распределения вариант, который в исследуемой группе особей встречается наиболее часто. В качестве примера рассмотрим распределение, представленное в таблице 6.2.

Таблица 6.2 – Пример распределения

В этом распределении наиболее многочисленным является пятый класс (180 – 199) с частотой 250. Это модальный класс.

В качестве первого приближения можно принять за моду средину модального класса, т. е. 190.

Более точное значение моды можно получить по формуле:

, (6.6)

где:

М₀ – мода;

W_α – начало модального класса;

k – величина классового промежутка;

f₁ – частота класса, предшествующего модальному;

f₂ – частота модального класса;

f₃ – частота класса, следующего за модальным.

Для приведенного распределения W_α = l80, k = 20, f₁ = 160,
f₂ = 250, f₃ = 240 (таблица 6.3).

Следовательно, мода этого распределения

Обычно, если классы взяты не слишком мелкие, имеется всего один модальный класс.

В некоторых распределениях встречаются два или три модальных класса. Иногда это может быть следствием того, что в изучаемую группу попал разнородный материал, относящийся к разным категориям (более крупной и менее крупной) по изучаемому признаку.

Медиана

Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.

Например, если имеется группа из 9 значений признака; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то медианой этой группы будет 5.

Для многочисленных групп медиану можно рассчитать по формуле:

, (6.7)

где:

М_е – медиана;

W_α – начало того класса, в котором находится медиана;

k – величина классового промежутка; n – общее число данных в группе;

– сумма частот классов (начиная с меньшего), предшествующих классу, в котором находится медиана;

f – частота класса, в котором находится медиана.

Нахождение медианы можно показать для распределения, представленного в таблице 6.3.

Таблица 6.3 – Пример нахождения медианы

Судя по ряду накопленных частот, медиана находится в шестом классе, так как в первых пяти классах имеется 492 варианта, а меньше медианы должна быть половина всей группы, т. е. 500 вариантов. Недостающие до 500 восемь вариантов находятся в шестом классе.

Для данного распределения W_α = 200, k =20, = 492, f = 240, а медиана равна:

.

Медиана, обладая в полной мере всеми общими свойствами средних величин, дает начало целой серии показателей разнообразия, которые носят общее название квантилей. Квантиль – это такое значение признака, которое отсекает в распределении определенную часть вариантов больше себя и определенную часть вариантов меньше себя. К таким показателям относятся кроме медианы (средней величины) показатели, разнообразия: квартили, децили и перцентили.

Три квартиля разделяют группу на четыре равночисленные части. Второй квартиль равен медиане, а расстояние между третьим и первым квартилями является одним из показателей степени разнообразия значений признака в группе.

Девять децилей разделяют группу на десять равночисленных частей. Пятый дециль равен медиане, а расстояние между девятым и первым децилями служит одним из показателей разнообразия.

Девяносто девять перцентилей делят группу на сто равночисленных частей. Пятидесятый перцентиль равен, медиане; девяносто девятый и первый перцентиль используются иногда в качестве максимума и минимума группы; расстояние между девяносто девятым, и первым перцентилями служит показателем размаха признака и разнообразия вариантов в этой группе.