Выбор закона распределения. Постановка задачи

Для оценки согласия эмпирических данных (x₁, х₂,…, х_п) и предполагаемого закона распределения используется расхождение между эмпирической и теоретической Р(х) вероятностью отдельных значений или интервалов значений случайной величины.

Если число значений дискретной случайной величины X ограничено (ξ₁, ξ₂,…,ξ_k) и каждое ξ_j (j=1, 2, …, k) встречается в выборке (имеющегося ряда наблюдений) не менее 5 раз, то расчеты критерия согласия производятся по вероятности, эмпирической и теоретической, каждого значения ξ_j.

Если X является непрерывной случайной величинойили возможное число значений X велико так, что каждое или некоторые значения ξ встречаются менее 5 раз, то необходимо использовать метод группировки данных и перейти к рассмотрению дискретной системы, в которой рассматриваются вероятности отдельных интервалов значений X.

Пусть имеется выборка x₁, x₂, ..., х_п. Значения выборки оформлены в виде статистического ряда распределения (см. разд. 4.3), в котором указаны эмпирические вероятности (относительная частота) отдельных значений или интервалов значений X. (Отдельные значения или интервалы значений X здесь и дальше обозна­чим через ζ_j (j=1, 2, …, k), через k- число отдельных значений или интервалов значений). Здесь же приводятся вероятности значений ζ _j, определенные по предполагаемому теоретическому закону распределения.

В качестве меры расхождения между теоретической и эмпири­ческой вероятностью принимается сумма квадратов отклонений взятых с некоторыми весами С_j:

(6.9)

Веса C_j вводятся потому, что в общем случае относящиеся к различным разрядам отклонения нельзя считать равноправными по значимости. Действительно, одно и то же ∆P_j может быть малозначительным, если сама вероятность P_j(ζ) велика, и очень за­метным, если она мала. Поэтому естественно, что С_j берутся об­ратно пропорциональными P_j(ζ). Пирсон показал, что закон распределения

если нулевая гипотеза верна, обладает рядом интересных свойств: он практически не зависит от закона распределения X и от числа опытов п, а зависит только от числа к. При больших значениях п этот закон приближается к так называемому распределению χ², т. е. можно принять, что

(6.10)

Распределением χ² с v степенями свободы называется распределение суммы квадратов v независимых нормированных случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Это распределение характеризуется плотностью вероятностей

(6.11)

где v —число степеней свободы

(6.12)

Г (v/2) —значение гамма-функции (см. гл. 4).

На основе формул (6.11) и (6,12) составлены таблицы значений χ² для различных значений обеспеченности и числа степеней свободы (см., например, работу [ ], прилож. ). По этой таблице можно определить вероятность события , где χ² – значение, рассчитанное для данной нулевой гипотезы. Если вероятность ока­жется меньше заданного уровня значимости, то гипотеза опровергается. Аналогично можно сравнивать рассчитанное значение χ² с табличным при данных v и α. Если , то гипотеза опровергается.

Для обоснованного применения критерия согласия χ² необходимо иметь ввиду, что при выводе закона распределения χ² пред­полагается, что биномиальное распределение частоты превышения может быть сведено к нормальному. Однако соответствую­щий предельный переход осуществляется достаточно быстро, если ни одна из вероятностей или P_i(x) не очень мала. Поэтому при практическом применении критерия согласия Р (χ²) необходимо частоты крайних разрядов, представляющих обычно малые числа, объединять между собой.

Считается, что использование распределения χ² в качестве критерия согласия возможно только в тех случаях, когда длина вы­борки п ≥ 50, а частота отдельных значений или интервалов значений X (в том числе полученная за счет объединения крайних интервалов) не меньше 5.

Недостатком метода является то, что группировка данных по интервалам в случае непрерывной случайной величины или большого числа возможных ее значений приводит к некоторой потере информации. Кроме того, элементы неопределенности и возможной неоднозначности решений вносятся при назначении числа ин­тервалов и длины самих интервалов.

К достоинствам критерия χ² следует отнести универсальность — независимость от закона распределения; возможность использования для данных нечислового характера; состоятельность.

В некоторых случаях, для оценки согласия законов распределения по критеоию Пирсона можно воспользоваться предложением В. А. Романовского. Он предложил простое правило, в значитель­ной степени облегчающее применение критерия согласия Пирсона. Это правило основывается на том, что

(6.13)

и вероятность значений χ², отклоняющихся от М(χ²), меньше, чем на 3 , т. е. на 3 в ту или другую сторону, близка к единице. Отсюда, если

(6.14)

то расхождение можно считать существенным, гипотеза опровергается, в противном случае — гипотеза не опровергается (при уровне значимости 0,3 %).

6.4.4. Критерий согласия пω²

Критерий согласия пω² в отличие от критерия χ² основывается на оценке расхождения обеспеченностей непосредственно наблюденных (несгруппированных) значений рассматриваемой величины X.

Расчет критерия пω² производится по формуле

(6.15)

где

, (6.16)

и P_i — соответственно значения обеспеченности по эмпирической и предполагаемой теоретической кривым обеспеченностей для каждого данного х_i (i =1, 2, …, п). Математическое ожидание и дисперсия пω² равны:

(6.17)

(6.18)

В случае, если гипотеза верна, при увеличении числа опытов ω² сходится к нулю, а nω² к 1/6 и при п ≥40 распределение про­изведения nω^{2 2} близко к некоторому предельному распределению, для которого определены верхние доверительные границы крите­рия nω² (табл. 6.1).

Таблица 6.1 – Значения верхних доверительных границ критерия nω² в зависимости от уровня значимости α, %.

Для оценки гипотезы о законе распределения при использовании критерия nω² необходимо:

1) ранжировать исходный ряд в убывающем порядке;

2) рассчитать эмпирические обеспеченности X по формуле (6.18);

3) определить обеспеченности значений x_i по предполагаемому закону распределения;

4) рассчитать критерий nω²;

5) сопоставить рассчитанное значение nω² с критическим nω²_α при данном уровне значимости а. Если то гипотеза (6.2) о согласии кривых обеспеченности опровергается.

Критерий nω² обладает рядом преимуществ по сравнению с критерием χ². Во-первых, при его применении полнее используется информация, заключающаяся в данных выборки, так как его расчет основывается на анализе непосредственно наблюденных величин. Во-вторых, его распределение значительно быстрее схо­дится к предельному закону, особенно при больших значениях nω².