Теорема о среднем значении

Теорема о среднем значении: Пусть функции и непрерывны на отрезке и знакопостоянна на этом отрезке. Тогда , такая что

. (4.24)

Доказательство:

Пусть для определённости . Функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Вейерштрасса. Следовательно, на этом отрезке она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. . Умножим это неравенство на . В результате получим . Теперь проинтегрируем это неравенство:

. (4.25)

Анализируя (4.25), приходим к выводу, что . По теореме о принятии функцией, непрерывной на отрезке, любого промежуточного значения: . Подставим вместо значение , получим

. ☻

Замечания:

1). Если , то соотношение (4.24) принимает вид

.

Следовательно,

. (4.26)

Значение функции , вычисленное по формуле (4.26), принято называть средним значением функции на отрезке .

2). Если , то неравенство (4.25) принимает вид

. (4.27)

Неравенство (4.27) может использоваться для оценки значения определённого интеграла. Например, требуется оценить значение интеграла . Легко определить, что наибольшее на отрезке значение подынтегральной функции равно 0,25, а наименьшее - . Поэтому .