Определенный интеграл и его свойства
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
Пусть функция непрерывна на отрезке
и
. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком
, отрезком
оси абсцисс и линиями
и
. Такую фигуру назовём криволинейной трапецией (рис. 4.3).
Рис. 4.3.
Вычислим площадь этой фигуры. Для этого точками разобьем отрезок
на частичные отрезки
и обозначим
. Для каждого отрезка
выберем произвольную точку
и построим прямоугольник с основанием
и высотой
как показано на рисунке. Площадь такого прямоугольника будет равна
. А площадь всей фигуры соответственно
. Это равенство будет тем точнее, чем на большее количество отрезков
разбит отрезок
, то есть
(где
).
К необходимости вычисления таких пределов приводит целый ряд других задач, таких как вычисление длины линии, вычисление объема тела, вычисление площади поверхности вращения, вычисление работы и др.
Определенный интеграл и его свойства
Пусть на отрезке задана непрерывная функция
. Разобьем точками
отрезок
на частичные отрезки
и примем
. На каждом частичном отрезке выберем точку
. Сумму
(4.21)
называют интегральной суммой, соответствующей данному способу разбиения отрезка на части и данному способу выбора точек
на каждом из частичных отрезков.
Если существует предел суммы (4.21), не зависящий от способа разбиения отрезка и способа выбора точек
, то его называют определенным интегралом от функции
по отрезку
и записывают
. (4.22)
Справедливо утверждение: если функция непрерывна на
, то определенный интеграл
всегда существует.
Замечание:
1). Вообще – то интеграл (4.22) существует и при менее жестких требованиях, накладываемых на функцию . Однако в нашем курсе будем предполагать, что функция
.
2). В соответствии с (4.22) площадь криволинейной трапеции (см. п. 4.14) вычисляется по формуле
(4.23)
Отметим основные свойства определённых интегралов:
1)
Доказательство:
Так как , то интегральная сумма для интеграла
примет вид
. Переходя к пределу, получим
. ☻
2) , где
.
Доказательство:
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу: ☻
3) Если существуют и
, то существует и
.
Доказательство:
Составим интегральную сумму для интеграла и перейдем в ней к пределу. Получим
☻
4) По соглашению
5) По соглашению
6) Если , то
.
Доказательство:
Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения отрезка , то возьмем такой способ разбиения, чтобы точка
была одной из точек разбиения отрезка
. Тогда:
И переходя к пределу, получим:
Это свойство остаётся в силе и при любом расположении точек .
Например, если и функция
, то
. ☻
7) Если , то
, причем равенство будет только в том случае, если
.
Доказательство:
Имеем , т.к. слагаемые в сумме, стоящей в левой части неравенства, не меньше соответствующих слагаемых правой суммы. Переходя к пределу в неравенстве, получим требуемый результат. ☻
8) Если , то
,
а если , то
.
Это свойство определённых интегралов является следствием предыдущего свойства.
9)
Доказательство:
Проинтегрируем неравенство и получим
,
что как раз и означает, что
.☻
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 370;