Определенный интеграл и его свойства

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть функция непрерывна на отрезке и . Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком , отрезком оси абсцисс и линиями и . Такую фигуру назовём криволинейной трапецией (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Вычислим площадь этой фигуры. Для этого точками разобьем отрезок на частичные отрезки и обозначим . Для каждого отрезка выберем произвольную точку и построим прямоугольник с основанием и высотой как показано на рисунке. Площадь такого прямоугольника будет равна . А площадь всей фигуры соответственно . Это равенство будет тем точнее, чем на большее количество отрезков разбит отрезок , то есть (где ).

К необходимости вычисления таких пределов приводит целый ряд других задач, таких как вычисление длины линии, вычисление объема тела, вычисление площади поверхности вращения, вычисление работы и др.

Определенный интеграл и его свойства

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Разобьем точками отрезок на частичные отрезки и примем . На каждом частичном отрезке выберем точку . Сумму

(4.21)

называют интегральной суммой, соответствующей данному способу разбиения отрезка на части и данному способу выбора точек на каждом из частичных отрезков.

Если существует предел суммы (4.21), не зависящий от способа разбиения отрезка и способа выбора точек , то его называют определенным интегралом от функции по отрезку и записывают

. (4.22)

Справедливо утверждение: если функция непрерывна на , то определенный интеграл всегда существует.

Замечание:

1). Вообще – то интеграл (4.22) существует и при менее жестких требованиях, накладываемых на функцию . Однако в нашем курсе будем предполагать, что функция .

2). В соответствии с (4.22) площадь криволинейной трапеции (см. п. 4.14) вычисляется по формуле

(4.23)

Отметим основные свойства определённых интегралов:

1)
Доказательство:
Так как , то интегральная сумма для интеграла примет вид . Переходя к пределу, получим

. ☻

2) , где .

Доказательство:
Составим интегральную сумму и перейдем к пределу: ☻

3) Если существуют и , то существует и .

Доказательство:
Составим интегральную сумму для интеграла и перейдем в ней к пределу. Получим

☻

4) По соглашению

5) По соглашению

6) Если , то .
Доказательство: