Определенный интеграл с переменным верхним

Пределом. Теорема Барроу

Пусть и . Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом

. (4.28)

Теорема Барроу: Интеграл (4.28) является первообразной для подынтегральной функции, т.е. .

Доказательство:

По определению производной:

Воспользуемся теоремой о среднем значении:

Так как , то при и . Тогда

,

что и требовалось доказать. ☻

Замечание:

Пусть , тогда по теореме о дифференцировании сложной функции . Например, производная от интеграла равна .

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть и . И пусть . Если функция - некоторая первообразная для подынтегральной функции, то по теореме об общем виде первообразных: . Положим , тогда . Но , следовательно, . Получили соотношение . Положим теперь в этом выражении . В итоге получаем формулу

. (4.29)

Формулу (4.29) называют формулой Ньютона-Лейбница. Эта формула является основной при вычислении определённых интегралов.

Пример:

Замена переменных в определенном интеграле

,

где функция является первообразной для подынтегральной функции .