Определенный интеграл с переменным верхним
Пределом. Теорема Барроу
Пусть и
. Рассмотрим определённый интеграл с переменным верхним пределом
. (4.28)
Теорема Барроу: Интеграл (4.28) является первообразной для подынтегральной функции, т.е. .
Доказательство:
По определению производной:
Воспользуемся теоремой о среднем значении:
Так как , то при
и
. Тогда
,
что и требовалось доказать. ☻
Замечание:
Пусть , тогда по теореме о дифференцировании сложной функции
. Например, производная от интеграла
равна
.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть и
. И пусть
. Если функция
- некоторая первообразная для подынтегральной функции, то по теореме об общем виде первообразных:
. Положим
, тогда
. Но
, следовательно,
. Получили соотношение
. Положим теперь в этом выражении
. В итоге получаем формулу
. (4.29)
Формулу (4.29) называют формулой Ньютона-Лейбница. Эта формула является основной при вычислении определённых интегралов.
Пример:
Замена переменных в определенном интеграле
,
где функция является первообразной для подынтегральной функции
.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 464;