Турбулентный пограничный слой на плоской пластине

Турбулентное течение является наиболее распространенной формой движения теплоносителя в теплообменных аппаратах. Теплообмен между стенкой и потоком осуществляется через пограничный слой, который оказывает основное сопротивление теплопереносу. Процессы, протекающие в нем, сводятся к переносу импульса и тепла, что непосредственно отражается на закономерностях распределения осредненной скорости и температуры. Поэтому по ним можно судить не только об интенсивности переноса импульса и тепла, но и об особенностях вихревой структуры.

Турбулентный пограничный слой на пластине можно рассчитать на основании приведенных ниже уравнений так же, как ламинарный пограничный слой, если знать выражения для m_Т и l_Т:

уравнение неразрывности	; (2.25)
уравнение движения	; (2.26)
уравнение энергии	, (2.27)

причем граничными условиями будут:

u = v = 0, T=T_w при у = 0; (2.28)

u = U_∞, T=T_¥ при y®¥.

Для замыкания данной системы уравнений применяются различные модели турбулентности.

Рис. 2.2.Турбулентный пограничный слой на плоской пластине

В основу анализа закономерностей переноса импульса и тепла положено общепринятое разделение течения в турбулентном пограничном слое на пластине на две области: пристенную, или внутреннюю, часть пограничного слоя и его внешнюю часть (рис. 2.2). Пристенная область занимает около 0,2 толщины всего пограничного слоя, и течение в ней описывается так называемым законом стенки. Обычно принимают, что распределение средней скорости в пристенной области определяется величиной касательного напряжения на стенке , плотностью r, кинематической вязкостью n и расстоянием от стенки y и может быть выражено законом подобия , (2.29)

где - динамическая скорость, - безразмерное расстояние.

В пристенной области около самой стенки примерно при y⁺<7 расположен очень тонкий вязкий подслой, в котором течение определяется молекулярной вязкостью и распределение скорости выражается линейной зависимостью

или . (2.30)

За вязким подслоем следует переходная зона, для которой, несмотря на существенные турбулентные пульсации, необходимо учитывать влияние вязкости. Далее, при y⁺>25 течение приобретает развитый турбулентный характер и распределение скоростей следует логарифмическому закону

, (2.31)

где c - универсальная постоянная порядка 0,4; С – постоянная, определяемая экспериментальным путем, С=5,5 , поэтому формулу (2.31) можем записать в следующем виде:

. (2.31а)

Поскольку величина слабо меняется с Re, закон распределения осредненной скорости для плоской пластины может быть выражен зависимостью . (2.32)

Ввиду некоторой неопределенности толщины пограничного слоя было предложено заменить безразмерное расстояние y/d безразмерным расстоянием , которое включает в себя более точно определяемую толщину вытеснения . (2.33)

Важная качественная характеристика – толщина потери импульса

(2.34)

может быть представлена в виде , (2.35)

где .

Основные принципы подобия подтверждаются универсальностью зависимости .

В дальнейшем под толщиной пограничного слоя d будем подразумевать расстояние от стенки, на котором значение скорости .

Переход от ламинарного течения к турбулентному характеризуется сильным ростом толщины пограничного слоя. Если в условиях ламинарного пограничного слоя [1,4]: , (2.36)

то для турбулентного пограничного слоя, согласно известному выражению Шлихтинга: . (2.37)

Аналогично образованию гидродинамического пограничного слоя над поверхностью, имеющей температуру, отличающуюся от температуры потока, образуется тепловой пограничный слой. Тепловой поток (при ), преодолев сопротивление вязкого подслоя, распространяется по всему пространству турбулентно движущейся жидкости в пограничном слое. Таким образом, толщины теплового и гидродинамического пограничных слоев совпадают. С увеличением числа Pr перепад температуры, приходящийся на вязкий подслой, становится все больше.

Соображения, используемые для установления законов подобия в распределении скорости, могут быть применены и к распределению температуры. В таком случае в пристенной области распределение температур можно выразить законом подобия:

, (2.38)

где - разность температур жидкости и стенки,

- характеристическая температура.

Для зоны вязкого подслоя , (2.39)

а для зоны логарифмического распределения

. (2.40)

Во внешней области пограничного слоя распределение температуры следует закону изменения температуры: ,

где - разность температур потока и стенки. В этой области турбулентного течения изменение температуры не должен зависеть от Pr.

Указанные законы подобия с достаточно хорошим приближением подтверждаются в условиях автомодельного развития пограничного слоя.

При осреднении уравнений турбулентного пограничного слоя [3,9] возникают неизвестные функции турбулентных напряжений трения и потоков тепла , отыскание связей которых со свойствами осредненного течения составляет основную проблему при решении задач турбулентного переноса. Теория турбулентности развивается, в основном, в двух направлениях. Первое направление связано с идеями Прандтля и Кармана о длине пути перемешивания, а во втором направлении, развитом на гипотезах А.Н. Колмогорова, для замыкания уравнений движения и энергии используются уравнения баланса пульсационных величин с привлечением гипотез относительно неизвестных членов, содержащихся в замыкающих уравнениях.

Модель пути смешения Прандтля

Основа модели Прандтля: плоское течение с направлением, одинаковым во всех точках пространства, и со скоростью, изменяющейся только при переходе от одной линии тока к другой. Пусть направление главного течения совпадает с осью х. Следовательно [9]: , , .

Такой случай осредненного течения осуществляется, например, при течении в прямоугольном канале. Из касательных составляющих тензора напряжений в рассматриваемом случае имеется только касательное напряжение . (2.41)

Механизм турбулентного течения можно представить в виде следующей упрощенной картины.

Рис. 2.3.Модель Прандтля

В турбулентном течении возникают жидкие объемы, каждый из которых обладает собственной скоростью и движется на протяжении неко­торого расстояния как в продольном, так и в поперечном направлении в виде неразрыв­ного целого с сохранением составляющей своего импульса. Предполо­жим, что один такой жидкий объем, возникший в слое (y₁- l) и обла­дающий скоростью u(y₁- l), перемещается на расстояние l в направле­нии, перпендикулярном к главному течению (рис. 2.3). Назовем расстояние l путем перемешивания. Если рас­сматриваемый жидкий объем сохраняет x-составляющую своего импульса, то в новом слое он будет иметь меньшую скорость, чем окружающая его новая среда. Разность между новой и старой скоростями . (2.42)

Последнее выражение получается в результате разложения скорости u(y₁-l) в ряд Тейлора. При таком поперечном течении v' > 0. Аналогичным образом жидкий объем, попадающий в слой y₁ из слоя y₁+ l, имеет в новом месте большую скорость, чем окружающая его там среда. Разность скоростей

, (2.43)

причем теперь v' < 0. Каждую из разностей скоростей и , вызван­ных поперечным движением, можно понимать как турбулентную пульса­цию скорости в слое y₁. Следовательно, осредненное во времени значение абсолютной величины этой пульсации

. (2.44)

Это соотношение позволяет дать пути перемешивания l следующее физическое толкование: путь перемешивания представляет собой то расстояние в поперечном направлении течения, которое частица жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первоначального слоя, должна пройти для того, чтобы разность ее скорости и скорости течения в новом месте стала равной осредненному значению абсолютной величины продольной пульсации турбулентного течения.

Величина поперечной скорости v' имеет такой же порядок, как и величина продольной скорости u', и поэтому мы можем написать, что

= число- = число . (2.45)

Изложенное выше приводит к сле­дующему выводу. Частицы жидкости, приходящие в слой y₁ с положи­тельным значением v' (рис. 2.3 - снизу), вызывают «обычно» отри­цательную пульсацию u', поэтому для таких частиц произведение u'v' отрицательно. Частицы же жидкости, приходящие в слой y₁ с отрица­тельным значением v' (сверху), вызывают «обычно» положительную пуль­сацию u', следовательно, для них произведение u'v' также отрицательно. Говоря об «обычно» положительных или «обычно» отрицательных пульсациях, не исключают возможность возникновения пульсации с противоположным знаком, но количество таких пульсаций может быть только очень небольшим. Таким образом, осредненное во вре­мени значение u'v' отличается от нуля, и притом отрицательно. Поэтому можем принять, что

, (2.46)

где коэффициент k, совпадает с коэффициентом корреляции. Заменяя и их выражениями, получим: . (2.47)

«Число» в этом соотношении не совпадает с «числом» в соотношении (2.45), так как включает коэффициент k из равенства (2.46). Если, включить это новое «число» в пока еще неизвестную длину пути перемешивания l, то

. (2.48)

Внеся это значение в формулу (2.41) для турбулентного касательного напряжения, получим: . (2.49)

Правильнее придать этой формуле следующий вид:

, (2.50)

так как очевидно, что при изменении знака производной должен меняться знак и касательного напряжения.

Из сопоставления формул следует, что коэффициент турбулентного трения равен: или , (2.51)

где , . Это дает возможность в уравнении (2.26) рассчитать величину . Из модели Прандтля (2.50) следует логарифмический профиль скорости в турбулентном ядре:

, ,

, ,

так как , то получим выражение (2.31).

Формула Прандтля (2.50) с успехом применяется для расчета турбу­лентных течений вдоль стенок (в трубе, в канале, вдоль пластины), а так­же для расчета так называемой свободной турбулентности, т. е. таких турбулентных течений, которые не ограничены стенками.

модель турбулентности

Таблица 1

0,09	1,44	1,92	1,0	1,3	0,9

В настоящее время существуют только два способа учёта закономерностей пристенных областей в численных расчётах турбулентных течений: метод пристенных функций и специальные модификации в математической модели турбулентности для её использования в окрестности стенок. В расчётах наиболее часто применяется первый подход, в основном, из-за соображений экономии компьютерной памяти и времени вычислений.

Рис. 2.4.Расположение пристеночных узлов

Рис. 2.5.Численная реализация граничного условия для U

Рассмотрим узловые точки N и P конечно-разностной схемы (рис. 2.4). Необходимым условием использования пристенных функций является достаточное удаление узла P от N, для того чтобы первый попал в область турбулентного ядра пограничного слоя.

Предполагается, что изменение скорости в пристенной области определяется логарифмическим законом (2.31) :

, (2.56)

где , и . (2.57)

Константы E и c полагаются универсальными со значениями: Е=9,0 и c=0,4.

Скорость трения и динамическая безразмерная координата соотносятся друг с другом при помощи функциональной связи, которую можно получить из решения уравнения переноса для кинетической энергии турбулентности при отсутствии влияния конвекции и диффузии. Эти условия реализуются в ядре турбулентного пограничного слоя, где выполняется баланс между порождением и диссипацией турбулентных пульсаций.

, (2.58)

, ,

где определяется из экспериментальных данных, , .

Результат такого решения , (2.59)

и . (2.60)

Подставляя (2.59) и (2.60) в (2.56), получаем функцию стенки для скорости:

. (2.61)

Отсюда можно получить выражение для вычисления трения на стенке (предполагается, что между точками N и P оно не меняется):

. (2.62)

Это соотношение используется как граничное условие для скорости U на стенке (рис. 2.5) при использовании модели.

Эффект выражается в каждом пристенном контрольном объёме путём:

1) разрыва связей узлов со стенкой при ;

2) включением в уравнение баланса для через дополнительный источниковый член , .

Скорость диссипации энергии e близи стенки определяется предположением о линейности изменения длины пути смешения от расстояния до стенки: .

Это допущение приводит к следующему соотношению:

, (2.63)

которое и выступает как граничное условие для e-уравнения. Наиболее удобно его включить в вычисления через источниковый член уравнения баланса e для пристенного контрольного объёма и .

Величина рассчитывается из обычного балансового уравнения для k, но с учётом следующих его модификаций в пристенной области: отсутствия диффузионного переноса кинетической энергии и включения напряжения трения на стенке в источник k. Член диссипации также модифицируется как осреднённая по пристенному контрольному объёму величина:

, (2.64)

или .

Тепловые (концентрационные) граничные условия также устанавливаются по известным пристенным законам, связывающим поток теплоты (массы) у стенки с величиной трения:

, (2.65)

где . (2.66)

Обозначим через SKIN и STAN (пристенные функции):

, .

Тогда мы получим следующее выражение:

, (2.65а)

где в соответствии с уравнением (2.66) коэффициент P

. При Pr=1 STAN=SKIN.

Если необходимо получить значение температуры на стенке или коэффициента теплоотдачи, можно воспользоваться следующими выражениями (считая т.P – 1 КО): .

; ;

; ; .

Значение Стантона можно записать как ;

значение числа Нуссельта

, (2.67)

где D - характерный размер, - температура на стенке, - среднемассовая температура, i=1 - первый контрольный объём.

Запишем уравнение (2.62) через пристенные функции, в виде:

,

,

где Е=9,0, c=0,41. Для турбулентного течения

, при . (2.68)

Коэффициент трения: ; ; .

Перепишем через пристенные функции, тогда ,

, , .

Определение гидродинамического сопротивления и теплоотдачи является конечной и основной задачей при рассмотрении конвективного переноса в теплообменнике.