Время жизни как случайная величина

В основе страхования жизни, как и любого другого вида страхования, лежит принцип распределения убытков одного лица, с которым произошел страховой случай, на большое число участников страхования, с которыми в рассматриваемый момент времени такой случай не произошел. Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни. Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если участники страхования представляют собой большую однородную группу людей, и мы не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то в этом случае применим аппарат теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости. Тогда продолжительность жизни можно рассматривать как случайную величину .

Функция выживания

В теории вероятностей распределение случайной величины описывается функцией распределения .

В актуарной математике принято работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительности жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста лет.

Функция

называется функцией выживания: .

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1. убывает (при );

2. ;

3. ;

4. непрерывна.

Одним из источников данных, необходимых для проведения актуарных расчетов по страхованию жизни, являются таблицы продолжительности жизни. Эти таблицы составляются по данным о смертности населения и о его возрастном составе. В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (как правило ) и соответственно при . При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была ничтожно мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл. Допустим, производится наблюдение за группой из новорожденных (как правило ) и имеется возможность фиксировать моменты их смерти. Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда

.

Таким образом, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Кривая смертей

В теории вероятностей непрерывную случайную величину удобнее описывать плотностью распределения . В актуарной математике график плотности продолжительности жизни (или, что практически то же, график функции ) называют кривой смертей.

Величина имеет простой статистический смысл. Рассмотрим среднее число представителей исходной группы в новорожденных, умерших в возрасте лет. Эта величина обозначается и равна . Тогда .

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

,

так что кривая смертей может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни.

Интенсивность смертности

Величина

называется интенсивностью смертности. Для человека, дожившего до лет, при малых величина приближенно выражает вероятность смерти в интервале .

Поскольку функция выживания может быть восстановлена по интенсивности смертности:

,

то интенсивность смертности может быть использована в качестве первичной характеристики продолжительности жизни.

Макрохарактеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие макрохарактеристики смертности:

1. среднее время жизни

,

2. дисперсия времени жизни

,

где ,

3. медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения

.

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Во многих случаях для упрощения расчетов, теоретического анализа и т.п. удобнее описать эмпирические функции выживания или интенсивности смертности с помощью аналитических законов. Преимуществом аналитических законов является то, что для них вероятностные характеристики продолжительности жизни можно быстро вычислять по небольшому числу параметров. А также использовать в случаях, когда доступные данные немногочисленны.

Простейшее приближение было введено в 1729г. де Муавром, который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где – предельный возраст. В модели де Муавра при

, , , .

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением. Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825г. Гомпертц, интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где и – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид

,

а кривая смертей .

Мэйкхам в 1860 г. обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида . Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как слагаемое учитывает влияние возраста на смертность. В этой модели

,

.

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели

,

.

Вейбулл в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели

, .

В модели Эрланга интенсивность смертности приближается функцией вида . В этой модели

, .