Таблицы продолжительности жизни

Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в таблицах продолжительности жизни, иногда их называют таблицами смертности. Простейшим видом таблиц являются таблицы, содержащие информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст. Такие таблицы называют общими или упрощенными. Они позволяют получить общую приближенную картину смертности. Примером таких таблиц могут служить популяционные таблицы, содержащие данные о смертности населения. В принципе для решения любой задачи достаточно знания функции выживания , однако для наглядности в таблицы обычно включают введенные ранее величины:

1) – среднее число живых представителей некоторой группы из новорожденных к возрасту лет.

2) – число представителей группы, умерших в возрасте от до лет.

3) – вероятность смерти в течение года для человека в возрасте лет.

4) – среднее остаточное время жизни.

В качестве шага таблицы обычно рассматривают один год.

Предположение Балдуччи

Предположение Балдуччи внешне похоже на предположение о равномерном распределении смертей, однако, в отличие от последнего, линейными функциями интерполируется . Это приводит к следующим формулам:

Отсюда можно получить явную формулу для на отрезке :

,

где вероятности и были определены ранее как вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере один год, и вероятность того, что человек в возрасте лет умрет на протяжении этого года, соответственно.

Для плотности это приближение дает:

.

Соответственно для интенсивности смертности имеем следующее приближение:

Одно из наиболее важных следствий предположения Балдуччи заключается в следующем. Рассмотрим величину ( – целое, ). Для нее имеем:

Итак, в предположении Балдуччи вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения.

Верно и обратное утверждение, если вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения (т.е. ), то для вида функции выживания для дробных возрастов (между двумя соседними целыми) верно предположение Балдуччи.