Математическая модель вольт-амперной характеристики анодного тока электровакуумного диода с вольфрамовым като -дом, построенная на основе эмиссионного уравнения.

Логарифмические уравнения очень не просто решаются. Их приходиться решать на ЭВМ методом подбора. В основном все графические построения выполняются благодаря подпрограмме, способной подбирать решение. Поэтому, в данном случае, вместе с графиками будут приводиться листинги подпрограмм, обеспечивающие построение этих графиков.

Но если мы начинаем изменять температуру при измерении вольт-амперной характеристики вакуумного диода, то логарифмическое уравнение принимает более сложный – двухмерный вид. Такое уравнение и имеет вид эмиссионного уравнения. В общем случае эмиссионное уравнение записывается так:

y _рез = exp( K₁ ∙ ( K₂ ∙ z - (x-x₀) ∙ (z-z₀)))

Для физики процесса : х – это напряжение, z – температура.

K₁ и K₂ - коэффициенты, регулирующие кривизну участка перехода между процессами. Общий вид эмиссионного уравнения:

y = A = F1(x₀) - функция первого процесса

y = B = F2(z₀) - функция второго процесса

y _рез = exp( K₁ ∙ (K₂ ∙ z - (x-x₀) ∙ (z-z₀) ) ) (2.1.5.,01)

Эмиссионное (логарифмическое) уравнение (2.1.5.,01) является внешней функцией по отношению к функциям A и B. В результате эмиссионное уравнение выглядит так:

__ __

y _рез = exp( K₁ ∙ ( K₂ ∙ z - (x - F1(x) ) ∙ (z – F2(z) ) )) (2.1.5.,02)

__ __

где F1(x) и F2(z) - это обратные функции, от первого и второго процесса. Для физики : х – это напряжение, z – температура.

Рассмотрим функцию теплового процесса:

F2 (T_F) = Ia ;

Обратная функция теплового процесса ( от выражения (2.1.4.,02) ) будет иметь вид:

__

F2 (T) = T_F = (Ln ( Ia) +27,325 ) / 1.047∙10^-2 (2.1.5.,03);

Рассмотрим функцию электрического процесса:

F1 (U_B) = Ia ;

Обратная функция электрического процесса (от выражения (2.1.4.,04) ) будет иметь вид:

__

F2 (U_B) = U_B = ( Ia / 9,215∙10^-5) ^2/3 (2.1.5.,04);

Составим эмиссионное уравнение.

y = A = F1 (Ua) = - функция первого процесса

y = B = F2 (T) - функция второго процесса

y _рез = exp( K₁ ∙ ( K₂ ∙ T - (Ua - U_B) ∙ (T - T_F)))

Определим K₁ как К_T , определим K₂ как U_D. При создании математической модели, находим эмпирические коэффициенты K_T и U_D. Далее следует:

Ia = exp ( K_T ∙ ( T∙ U_D - ( T - T_F ) ∙ (Ua - U_B) ) ) (2.1.5.,05);

T_F =(Ln ( Ia) +27,325 ) / 1,047∙10^-2 ;

U_B = ( Ia / 9,215∙10^-5) ^2/3 ;

где:

K_T = 0,0956 Вольт^-1 ∙ Кельвин^-1;

U_D = 0,01 Вольт;

T > T_F .

K_T и U_D - коэффициенты, регулирующие кривизну участка перехода между процессами. T_F и U_B - обратные функции процессов A и B. На основе соотношения (2.1.5.,05), применяя подпрограмму двоичного поиска Midi, можно построить графики вольт-амперных и кельвин-амперных характеристик. На рисунке 2.10. представлен график семейства вольт-амперных характеристик при различных температурах катода.

Рис. 2.10. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход для вольт-амперной характеристики эксперимента С. Дэшмана.

На рисунке 2.10. для процессов

Ia=A = F1(Ua) = 9,215∙10^-5 ∙ Ua ^3/2, и

Ia = B= F2(T) = exp( 1,047∙10^-2 ∙ T - 27,325 ), построена функция

__ __

Ia _рез = Ia = exp ( K_T∙ ( T∙ U_D - ( T - F2 (T) ) ∙ (Ua - F1(Ua) ) ) ),

с аргументом Ua при трёх температурах катода. Ось абсцисс отградуирована в Вольтах, ось ординат в Амперах.

Для построения графика на рисунке 2.10. использовалась подпрограмма двоичного поиска Midi2_012. текст подпрограммы приведён ниже.

procedure MidI2_012(x,z:real;var y:real;var c0:integer);

var

Ymax, Ymin, X0, E: real;

Kt,Ub,Ud,Uf,Tf:real;

A,B,C,D:real;

begin

c0:=0;

E:=0.000001;

Ymax:=exp( (z-0.01)*0.01047-27.325 ); // прямая функция для z

Ymin:=0;

Kt:=0.0956;

Ud:=0.01;

repeat

begin

y:=(Ymax+Ymin)/2;

Tf:= (Ln(y)+27.325)/ 0.01047; // обратная функция для z

Ub:= power( ( exp( Ln(y)) /9.216e-5) , (2/3));// обратная функция для x

Uf:=Ub+Ud;

if y<=0 then

begin

c0:=1; // код ошибки

break;

end;

A:=Ln(y);

B:=A/(-Kt);

C:=B+z*Ud;

D:=z-Tf;

if D=0 then

begin

c0:=2; // код ошибки

break;

end;

X0:=(C/D)+Ub; // поэтапное вычисление х ( или Ua )

if X0 > x then Ymax:=y else Ymin:=y;

end until (X0+E > x) and (X0-E < x);

end;

Та же подпрограмма - MidI2_012 - использовалась при построении графика на рисунке 2.11.

На рисунке 2.11. представлен график семейства кельвин-амперных характеристик при различных напряжениях на аноде.

Рис. 2.11. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход в кельвин-амперных характеристиках эксперимента С, Дэшмана.

На рисунке 2.11. для процессов

Ia=A = F1(Ua) = 9,215∙10^-5 ∙ Ua ^3/2, и

Ia = B= F2(T) = exp( 1,047∙10^-2 ∙ T - 27,325 ), построена функция

__ __

Ia _рез = Ia = exp ( K_T∙ ( T∙ U_D - ( T - F2(T) ) ∙ (Ua - F1(Ua) ) ) ),

c аргументом T при 10-ти напряжениях на аноде. Ось абсцисс отградуирована в Кельвинах, ось ординат в Амперах.

На рисунке 2.12. изображена математическая модель для тока анода в эксперименте Дэшмана, реализованная по методу моделирования перехода процессов с эмиссионным уравнением в качестве внешней функции. Поверх точек математической модели построены точки экспериментальных данных.

Рис. 2.12. График, иллюстрирующий совпадение точек математической модели и экспериментальных данных.