Машинное представление деревьев в памяти ЭВМ.

Деревья можно представлять с помощью связных списков и массивов (или последовательных списков).

Чаще всего используется связное представление деревьев, т.к. оно очень сильно напоминает логическое. Связное хранение состоит в том, что задается связь от отца к сыновьям. В бинарном дереве имеется два указателя, поэтому удобно узел представить в виде структуры:

где LPTR - указатель на левое поддерево, RPTR - указатель на правое поддерево, DATA - содержит информацию, связанную с вершиной.

Рассмотрим машинное представление бинарного дерева, изображенного на рис. 6.20.

Рис. 6.20. Логическое представление дерева

Рис. 6.21. Машинное связное представление дерева представленного на рис.6.20

Рассмотрим последовательное представление деревьев. Оно удобно и эффективно в случае, если древовидная структура в течение времени своего существования не подвергается значительным изменениям, за счет включения вершин, удаления вершин и т.д.

Выбор метода последовательного представления деревьев определяется также набором тех операций, которые должны быть выполнены над древовидными структурами. (Пример статистической древовидной структуры - пирамидальный метод сортировки). Простейший метод представления дерева в виде последовательной структуры заключается во введении вектора FATHER, задающего отбор для всех его вершин. Этот метод можно использовать также для представления леса. Недостаток метода - он не отображает упорядочения вершин дерева. Если в предыдущем примере поменять местами вершины 9 и 10, последовательное представление останется тем же.

Рис. 6.22. Диаграммы дерева: а) исходное б) перестройка в бинарное

Последовательное представление дерева, логическая диаграмма которого дана на рис. 6.22 , задается следующим образом:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FATHER [i] 0 1 1 1 2 3 3 7 4 4 ,

где ветви определяются как

{(FATHER[i],i)}, i = 2,3,...,10.

Вершины 2,3,4 являются сыновьями вершины 1, вершина 5 - сыном вершины 2, вершины 6,7 - сыновьями вершины 3, вершина 8 имеет отца вершина 7 и вершины 9 и 10 - сыновья вершины 4.

Числовые поля данных используются здесь, чтобы упростить представление дерева. Корневая вершина не имеет отца, поэтому вместо отца для нее задается нулевое значение.

Общее правило: если T обозначает индекс корневой вершины дерева, то FATHER[T] = 0.

Другой метод последовательного представления деревьев заключается в использовании физической смежности элементов машинной памяти вместо одного из полей LPTR или RPTR, например, способ опускания полей, т.е. чтобы вершины появлялись в нисходящем порядке. Дерево (рис.6.22б), можно описать как:

Рис. 6.23. Последовательное представление дерева методом опускания полей

где RPTR,DATA и TAG представляют векторы. В данном методе указатель LPTR не требуется, т.к. если бы он не был пуст, то указывал бы на вершину, стоящую непосредственно справа от данной. Вектор TAG - бинарный вектор, в котором единицы отмечают концевые вершины исходного дерева. При таком представлении имеются значительные потери памяти, т.к. свыше половины указателей RPTR оказываются пустыми. Эти пустые места можно использовать путем установки указателя RPTR каждой данной вершины на вершину, которая следует непосредственно за поддеревом, расположенном под ней. В таком представлении поле RPTR переименовывается в RANGE:

Рис. 6.24. Последовательное представление дерева с размещением вершин в возрастающем порядке

В этом случае поле TAG не требуется поскольку концевой узел определяется условием RANGE(P) = P + 1.

Третий метод состоит в представлении дерева общего вида на основе его восходящего обхода. Такое представление состоит из двух векторов: один вектор описывает все вершины дерева в восходящей последовательности, а второй - задает полустепени исхода этих вершин (см. рис.6.25). Восходящий метод представления удобен для вычисления функцией, заданных на определенных вершинах дерева ( например, использование таких функций для генерации объектного кода по обратной польской записи некоторого выражения ).

Рис. 6.25. Последовательное представление дерева на основе восходящего обхода

В заключении приведем два важных понятия.

Подобие бинарных деревьев - два дерева подобны, если они имеют одинаковую структуру ( форму ).

Эквивалентные бинарные деревья - два дерева эквивалентные, если они подобны, и если соответствующие вершины у них содержат одинаковую информацию.