Визначення моменту інерції маховика методом Віттенбауера (за допомогою діаграми енергомас)

Переходимо до наступної важливої задачі динаміки механізмів та машин - про визначення найвигідніших співвідношень між силами, масами та швидкостями ланок механізму, які забезпечують заданий режим його руху.

Визначення моменту інерції маховика за заданою величиною виконується в процесі проектування машини та складає одну із задач її динамічного синтезу.

Для машин, що виконують різні технологічні процеси, коливання допустимі лише в певних межах, встановлених практикою експлуатації обладнання.

Розглянемо задачу, в якій необхідно знайти величину зведеного моменту інерції ланки зведення, при якому її кутова швидкість не виходила б за наперед задані значення. Розв’язок даної задачі зводиться до визначення моменту інерції маховика.

Задачу будемо розв’язувати методом Віттенбауера, графоаналітичним методом за допомогою побудови діаграми енергомас – залежності кінетичної енергії механізму від зведеного моменту інерції.

Для визначення моменту інерції махового колеса вважають заданими або попередньо знайденими:

- схема механізму та розміри ланок;

- маси і моменти інерції ланок;

- середня кутова швидкість ланки зведення ;

- коефіцієнт нерівномірності руху ланки зведення;

- сили, прикладені до ланок механізму.

Виберемо за початкову ланку головний вал механізму, що виконує неперервний обертальний рух.

Послідовність визначення моменту інерції маховика за методом Віттенбауера:

- будуються п (дванадцять) рівновіддалених за кутом повороту кривошипа планів положень механізму;

- для побудованих планів положень будуються плани швидкостей;

- для п положень механізму за формулою (4.4) визначаються зведені моменти сил, при цьому для робочих машин знаходяться зведені моменти сил корисного опору М₀, а зведені моменти рушійних сил М_р наближено приймаються такими, що мають деяке постійне значення, поки що невідоме. Для машин – двигунів, навпаки, знаходяться зведені М_р, а М₀ приймаються постійними;

- будується графік зведеного моменту сил корисного опору (для машин двигунів - рушійних сил) (рис. 4.3, а). Всі графіки будуються для одного циклу усталеного руху.

- графічно інтегруючи зведений момент сил корисного опору, отримуємо графік робіт сил опору . Графік робіт рушійних сил для робочих машин з врахуванням прийнятих припущень, а також враховуючи те, що за один цикл усталеного руху А_Р=А_О, що являє собою пряму лінію, яка з’єднує початок і кінець графіка роботи сил опору (рис. 4.3, б) (для машин-двигунів навпаки);

- віднявши від ординат графіка робіт рушійних сил ординати робіт сил корисного опору, будуємо графік надлишкової роботи, який одночасно є графіком приросту кінетичної енергії (рис. 4.3, в). ;

- для побудованих положень механізму за формулою (4.7) визначаємо зведені до кривошипа моменти інерції механізму (без маховика).

Зауважимо, що в результаті виконання перших трьох пунктів та даного – механізм приводиться до динамічної моделі;

- будуємо графік зведеного моменту інерції як функцію кута повороту кривошипа, розмістивши вісь ординат перпендикулярно до осі ординат на попередніх графіках (рис. 4.3, г);

- шляхом графічного виключення спільного параметра з діаграм приросту кінетичної енергії та зведеного моменту інерції будуємо графік приросту кінетичної енергії як функції зведеного моменту інерції – діаграму енергомас (4.3, д).

Підкреслимо, що цю діаграму накреслено для механізму без маховика. Такою ж діаграма залишиться і для механізму з маховиком. Але початок осей координат зміститься: вліво, оскільки зведений момент інерції буде більшим на величину моменту інерції маховика; і до низу, оскільки за такої ж самої має збільшитись кінетична енергія механізму. Таким чином, при зменшені величини зростає зведена маса механізму та його кінетична енергія, яка необхідна для забезпечення руху механізму з заданою середньою швидкістю;

- до кривої діаграми енергомас проводяться дотичні під кутами ,

,

де - відповідно масштаби по осі абсцис і ординат діаграми енергомас.

Рис. 4.3

Точка перетину дотичних є початком нової системи координат діаграми енергомас механізму з маховиком.

Величина моменту інерції маховика визначається за формулою

,

де - відстань, на яку зміститься вісь ординат.

При малих значення коефіцієнта внаслідок невеликої різниці між кутами точка перетину дотичних часто знаходиться за межами рисунка. У цьому випадку користуються формулою

,

де kl – відстань по осі ординат діаграми енергомас.

Для зменшення маси та габаритів маховика доцільніше його встановлювати на найшвидкохіднішому валі, оскільки кінетична енергія маховика, в результаті зміни якої здійснюється регулювання швидкості, прямо пропорційна . Якщо маховик встановлюється не на ланці зведення, а на іншій ланці механізму, то повинна задовольнятися умова рівності кінетичної енергії

,

звідки ,

де І_і – момент інерції маховика, встановленого на і-й ланці; - кутова швидкість цієї ланки; - передатне відношення. Таким чином, чим більша кутова швидкість і-ї ланки, тим менший момент інерції маховика, і, відповідно менші його маса та габарити.

Після визначення моменту інерції маховика та місця його встановлення розраховують його основі розміри.

Відмітимо, що за допомогою кривої енергомас легко встановити залежність кутової швидкості ланки зведення як функції кута повороту . Вибираємо на цій кривій будь-яку точку (точка 4^//, рис. 4.3, д) та з’єднуємо її з початком координат (точка О₁). Швидкість ланки зведення в положенні, яке визначається вибраною точкою, знаходимо за формулою

(4.19)

За формулою (4.19) будують графік . Порівнюючи між собою кути , можна наочно прослідкувати, як змінюється кутова швидкість ланки зведення при зміні її положення.

Відмітимо також, що за допомогою кривої енергомас можна визначити коефіцієнт нерівномірності руху механізму. Для цього з початку системи координат (т.О₁, рис. 4.3, д) проводимо дві дотичні до кривої енергомас. Вимірюємо кути . Коефіцієнт нерівномірності руху визначаємо за формулою

.

Визначення розмірів маховика.Форма маховика, загалом може бути вибрана довільною. Але за конструктивними міркуваннями, найбільш зручною є форма у вигляді диска з важким ободом, колеса зі спицями або форма, яка симетрична відносно головних осей інерції. При цій формі легше за все досягається співпадання вісі обертання з однією із головних центральних осей інерції. Це дозволяє уникнути додаткових тисків на вальниці вала, на якому розміщений маховик.

Якщо маховик виконаний у вигляді колеса зі спицями (рис. 4.4), то моментами інерції з’єднувальних частин нехтують і наближено вважають , що маса маховика рівномірно розподілена по колу радіуса - геометричному місцю центрів ваги поперечних перерізів обода. Тоді момент інерції маховика можна виразити так (використовується формула для моменту інерції тонкого кільця):

(4.20)

де m – маса маховика.

Рис. 4.4

Добуток маси обода маховика на квадрат його діаметра називається маховим моментомабо характеристикоюмаховика. Для багатьох деталей машин, що здійснюють обертальний рух (муфти, ротори електродвигунів тощо), ця характеристика наводиться у довідниках. Характеристика маховика має одиницю виміру кг·м². За цією характеристикою можна визначити необхідну масу маховика, якщо задано або вибрано його діаметр, значення якого визначається з суто конструктивних міркувань.

З рівняння (4.19) слідує, що при визначеній величині I_м вага маховика обернено пропорційна квадрату його діаметра D і для зменшення металоємкості вигідно брати більші діаметри. Але це заперечує вимозі малих габаритів та лімітується допустимою кутовою швидкістю.

Для запобігання небезпеці можливого розриву маховика відцентровими силами його діаметр D вибирають таким чином, щоб колова швидкість на ободі не перевищувала допустиму для матеріалу маховика величину. Для перевірки діаметра маховика можна рекомендувати таку залежність:

, (4.21)

де - допустима колова швидкість обода маховика, яка не повинна перевищувати для сталевих маховиків 70 – 120 м/с, для чавунних - 30 – 45 м/с; - частота обертання маховика, хв^-1. Зауважимо, що хромонікелеві маховики допускають колову швидкість до 150 м/с.

Маса обода маховика практично може бути взята

,

тоді ширина b обода визначається з виразу

.

Тут с = 0.4b; - густина матеріалу, кг/м³; для сталевих маховиків ( =7800 кг/м³) матимемо

.