СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Часто для технических расчетов оказывается недостаточным знание мгновенного или амплитудного значения синусоидальной величины, поэтому дополнительно вводится понятие среднего значения.

Средним значением переменного тока за некоторое время t называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени через поперечное сечение проводника проходит одинаковое количество электричества. Т.е. среднее значение переменного тока I_ср определяется через сопоставление с количеством заряда, прошедшего через проводник при протекании постоянного тока.

Аналитически это можно представить так:

Q = I_срt = (5-11)

Рис. 66

Из рис.66 следует, что среднее значение тока определяется из условия равенства площади, охватываемой постоянной ординатой и осью абсцисс, и площади под синусоидальной кривой за время t. Графически средний ток выражается высотой (I_ср) прямоугольника с основанием равным t. Причем площадь этого прямоугольника равна площади ограниченной кривой тока и осью абсцисс за время t.

Среднее значение синусоидальной величины за время равное периоду равно нулю:

I_ср T = = 1/T = 1/Tw = I_m/Tw (-coswt/₀^T )= I_m/Tw(-сos(2π/T)∙T + cos0) = 0.

Это подтверждается суммированием площадей синусоиды. Т.е. среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Поэтому среднее значение обычно рассчитывается за время равное половине периода. Тогда

I_ср T/2 = ; → I_ср = 2/T = 2/T ∙I_m/ω = 2I_m/Tω cos/₀^{T 2} = 2I_m/Tω(1+1) = 2/π ∙I_m. (5-12)

Таким образом,

I_ср= 2/π ∙I_m = 0/637 I_m. (5-16)

4. ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН.

При расчетах электрических цепей кроме мгновенного, амплитудного и среднего значений синусоидальной величины очень часто используется действующее значение, которое в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами без индексов, т.е. I, U, E. Отметим, что большинство приборов, используемых для измерений в цепях переменного тока ( амперметры, вольтметры, ваттметры и т.д.) проградуированы в действующих значениях.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в резистивном элементе выделяется такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Из определения следует

Rdt, (5-17)

где R- активное сопротивление элемента цепи, I- величина постоянного тока, равная действующему значению.

Так как

то I = dt = . (5-18)

Понизим степень при функции синуса, т.е.

sin²wt = ½(1-cos2wt).

I = - 1/2 ).

Т.к. интеграл (1/2 )) любой синусоидальной функции, взятый в пределах целого числа периодов равен нулю, то

I = = =I_m/ = 0,707I_m. (5-19)

Аналогично можно записать

U = U_m/ = 0,707U_m; (5-20)

E = E_m/ = 0,707E_m. (5-21)

Таким образом, действующее значение синусоидальной величины в раз меньше ее амплитудного значения.

Контрольные вопросы

1. Что такое мгновенное значение переменного электрического тока?

2. Что такое фаза переменного тока?

3. Определить среднее значение переменного тока I = 60 sin wt.

4. Какова связь между периодом и частотой?

5. Что такое сдвиг фаз?

6. Найти период, если угловая частота равна 157рад/c.

7. Мгновенное значение тока в цепи Найти его среднее значение за половину периода.

8. Найти частоту переменного тока, имеющего период 0,04с.

9. Определить амплитудное и действующее значения синусоидального напряжения, если его среднее значение U_ср=198В.

10. Написать выражение для мгновенного значения синусоидального тока, комплексная амплитуда которого I_m = 10 e^{-j 30}.

11. Конденсатор емкостью С подключен к источнику переменного тока. Как изменится ток, если : а) подключить параллельно ему конденсатор той же емкости; б) включить последовательно с ним конденсатор той же емкости?

12. Записать выражение для комплексной амплитуды тока i₁= 15 sin wt+p/2)A.

13. Определить ток равный сумме токов i₁= (3+j 4) и i₂= (2+j). Суммарный ток представить в показательной форме записи.

14. Мгновенное значение тока в цепи i=100 sin(wt+p/2 )А. Найти его среднее значение за: а) половину периода, б) период времени.

15. Мгновенные значения двух переменных токов заданы уравнениями: i₁= 50 sin(wt+0⁰) A и i₂ = 50 sin(wt+90⁰) A. Найти аналитически выражение для суммарного тока.

16. Последовательно с лампой накаливания включен конденсатор переменной емкости. Как изменится накал лампы, если: а) не меняя входное напряжение увеличить емкость конденсатора; б) не меняя емкость конденсатора и входное напряжение увеличить частоту входного сигнала

Г л а в а 6