ЭЛЕМЕНТЫ И ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1. ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

На рис. 67 в цепь переменного тока включен элемент, обладающий только активным сопротивлением r (лампа накаливания, угольный резистор, электронагревательный прибор и т.д.). Пусть подаваемое в схему напряжение синусоидально и изменяется по закону u =U_m sinwt. Схема идеализированная, следовательно, L = C = 0.

Рис. 67 Однофазная электрическая цепь с активным сопротивлением: а – схема, б, в - временная и векторная диаграммы.

Ток в цепи. Согласно закона Ома, в цепи протекает переменный ток, мгновенное значение которого определяется выражением:

(6-1)

Обозначим

Тогда (6-2)

где – амплитудное значение тока, –циклическая частота.

Из выражений для напряжения и тока видно, что эти величины синфазны и разность фаз между ними φ=0. Совпадение фаз тока и напряжения в цепи с активной нагрузкой означает совпадение во времени нулевых и амплитудных значений.

Закон Ома в комплексном виде. Комплексы действующих значений тока и напряжения

İ =I и Ù = U , соответственно.

Комплекс сопротивления Ż = Ù/İ = U/I = - γ = U/I = R. (6-3)

Комплексное сопротивление резистивного элемента является положительным действительным числом, численно равным активному сопротивлению.

Уравнение мощности. Произведение мгновенного значения напряжения на мгновенное значение тока в любой момент времени равно мгновенному значению мощности:

р = u i. (6-4)

Так как u =U_m sinwt; i =I_m sinwt, то

р = I_m sinwt U_m sinwt = I_m U_m sin²wt. (6-5)

Понизим степень функции синуса, получим sin²wt = (1 - /2.

P =U_mI_m (1 - /2 =UI (1 - = UI – UI . (6-6)

Данное выражение показывает, что кривая мгновенной мощности колеблется с удвоенной частотой 2ω по сравнению с кривыми тока и напряжения.

Рис. 68

Из рис. видно, что за один период изменения тока, мощность изменяется дважды, оставаясь положительной (график мощности выше оси абсцисс) как при i >0, так и при i <0. Максимальных значений мощность достигает в те моменты времени, когда максимальны напряжения и ток, а нулевое, когда напряжение и ток равны нулю.

Положительные значения мощности свидетельствуют о том, что электрическая энергия забирается от источника энергии и преобразуется в тепловую. Причем скорость потребления энергии с течением времени не остается постоянной, а изменяется по закону р = UI (1 - .

Средняя мощность. Средняя мощность за период времени

Р_ср = Р = 1/T∙ = 1/T∙UI . (6-7)

Так как интеграл то

P = 1/T∙ (6-8)

Cредняя мощность, выделяемая за время равное периоду в цепи с чисто активной нагрузкой называется активной мощностью, которая измеряется в ваттах (ВТ). Последнюю формулу можно представить и в таком виде:

P = UI = I²R = U²/R. (6-9)

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Рассмотрим идеальную катушку индуктивности, для которой R_k =C = 0 (R_k – активное сопротивление катушки, С – межвитковая емкость). L – индуктивность катушки. Пусть напряжение u = U_m . По цепи протекает переменный ток. Так как ток в цепи изменяется, следовательно в катушке индуцируется эдс индукции e_L = -L di/dt. Уравнение электрического

Рис. 69 Цепь переменного тока с индуктивным элементом: а – схема, б.в – временная и векторная диаграммы.

состояния имеет вид

u + e_L = I R_k = 0. (6-10)

Откуда следует, что u = - e_L = L di/dt.

Из уравнения следует, что для любого момента времени (u) численно равна (e_L) и эти величины находятся в противофазе.

di = u/L dt = U_m . (6-11)

Проинтегрируем последнее выражение

А – постоянная интегрирования, которая при отсутствии постоянной составляющей тока равна нулю.

Заменим - = .

Тогда мгновенное значение тока приобретает вид:

i = U_m/ωL sin(𝜔𝑡− 𝜋/2).

Обозначим U_m/ωL = I_m.

В окончательном виде выражение для тока в цепи с индуктивным элементом

i = I_m . (6-12)

Из сравнения аналитических уравнений напряжения и тока следует, что в результате возникновения в цепи эдс индукции между этими характеристиками возникает фазовый сдвиг равный π/2 или напряжение опережает ток на угол π/2. Это означает, что с нарастанием напряжения от нуля до максимума ток падает по абсолютной величине от максимума до нуля и наоборот (рис. б).

На векторной диаграмме (рис. в), если вектор тока располагается горизонтально, то вектор напряжения – с опережением по фазе на угол π/2.

Индуктивное сопротивление. Произведение - называется индуктивным сопротивлением, которое пропорционально частоте тока (ω =2πν) и индуктивности элемента цепи.

Измеряется индуктивное сопротивление в омах (Ом).

Таким образом, любой элемент цепи, обладающий индуктивностью, создает определенное сопротивление при прохождении через него переменного тока. Это можно пояснить тем, что в индуктивном элементе при прохождении переменного тока происходит возбуждение эдс индукции e_L, которая согласно правила Ленца своим действием направлена против причины, ее порождающей, следовательно, она создает препятствие на пути движения тока. Хотя индуктивное и активное сопротивления имеют одинаковые размерности, причины, их порождающие, различны.

Индуктивное сопротивление – это сопротивление, которое оказывает току индуктированная эдс, возникающая в этом элементе при прохождении через него переменного тока.

Для постоянного тока ν=0 и, следовательно, =0. Для переменного тока, с изменяющейся

Рис. 70 Частотная зависимость индуктивного сопротивления.

частотой от нуля до бесконечности величина увеличивается по линейному закону от = 0 до = ∞ (рис. )

Уравнение мощности. В цепи с индуктивным элементом мгновенное значение мощности

p = ui = I_m ,sin-(𝜔𝑡− 𝜋/2). U_m = - I_m U_m ,sin-𝜔𝑡. (6-13)

Заменим =

Получим p = - U_mI_m/2 ∙ = - UI . (6-14)

Это выражение показывает, что кривая мощности изменяется по закону синуса, но с двойной частотой 2ω.

Рис. 71 Кривые мгновенных значений напряжения, тока и мощности для цепи, содержащей индуктивность.

Когда u и i имеют одинаковые знаки (рис.71 ), то кривая р положительна и располагается выше оси абсцисс. Если же u и i имеют разные знаки, то кривая р отрицательна и располагается ниже оси абсцисс.

В первую четверть периода ток, а вместе с ним и магнитный поток катушки увеличивается. Катушка забирает от источника энергии мощность. В это время энергия забираемая от источника идет на создание магнитного поля (мощность положительна). Количество энергии, запасаемое в магнитном поле за время роста тока, можно определить как :

(6-15)

За вторую четверть периода ток убывает. ЭДС индукции, которая в первую четверть периода стремилась помешать возрастанию тока, теперь, когда ток начинает убывать, будет мешать ему уменьшаться. Сама катушка становится как бы генератором электрической энергии. Она возвращает источнику энергию, запасенную в ее магнитном поле. Мощность отрицательна и кривая р располагается ниже оси абсцисс.

За вторую половину периода явление повторяется. Таким образом, между источником переменного напряжения и катушкой, содержащей индуктивность, происходит обмен мощностью. В течение первой и третьей четвертей периода мощность поглощается катушкой, в течение второй и четвертой четвертей мощность, в равной степени, возвращается источнику.

В этом случае, в среднем, расхода мощности не будет, несмотря на то, что на зажимах цепи есть напряжение U и в цепи протекает ток I.

Вычислим активную мощность за время равное периоду

P = 1/T

(интеграл от синусоидальной функции в пределах двух периодов равен нулю).

Тот же результат мы получим, если вычислим активную мощность по формуле

. (6-16)

Так как между напряжением и током существует фазовый сдвиг равный 90⁰ и .

Поэтому активная мощность также равна нулю, т.е. расхода мощности нет.

Реактивная (индуктивная) мощность количественно оценивается амплитудой кривой мощности:

Q_L = U I = I² X_L. (6-17)

и измеряется - вольт-ампер реактивный (вар).

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ.

На рис. 72 в цепь переменного тока включен идеальный элемент, обладающий только емкостью С. Активным и индуктивным сопротивлениями этого элемента пренебрегаем, т.е. R_c = L = 0.

а б в

Рис. 72 Цепь переменного тока с емкостным элементом: а- схема, б,в – временная и векторная диаграммы.

При подключении пременного напряжения u = U_m вследствие периодической перезарядки конденсатора в цепи проходит ток, который можно определить как скорость изменения заряда на обкладках конденсатора.

Уравнение тока.

i =dq/dt, (6-18)

т.к емкость конденсатора C=q/u_c, то dq = C du_c.

Тогда i =dq/dt = C∙du_c/dt. В цепи для любого момента времени выполняется соотношение u=uc = U_m . С учетом этого

i =C d(U_m )/dt. (6-19)

Продифференцировав это выражение, получим

i =CU_mω .

Обозначим = I_m

и выражение для тока примет вид:

i = I_m . (6-20)

Таким образом, в цепи с емкостным элементом кривая тока опережает кривую напряжения по фазе на угол π/2. Это означает, что с нарастанием напряжения от нуля до максимума ток падает от максимума до нуля (рис.72 б).

Действующее значение тока определим из соотношения:

или

(6-21)

Напряжение и ток в рассматриваемой цепи можно изобразить с помощью векторной диаграммы (рис. в). Если вектор тока расположить горизонтально (удобно для сравнения с предыдущими векторными диаграммами), то вектор напряжения, отстающий по фазе на угол откладывается вниз.

Емкостное сопротивление. Изуравнения ( 6-21) следует

U/I = 1/ωC, (6-22)

где 1/ωC = Xc – емкостное сопротивление.

Следовательно,

Xc = 1/ωC = 1/2πνC. (6-23)

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости элемента, т.е. с увеличением частоты от нуля до бесконечности величина Xc уменьшается от бесконечности до нуля.

Измеряется это сопротивление в омах (ом)

Емкостное сопротивление – это сопротивление току, которое оказывает электрическое поле, возникающее вокруг накапливаемого на пластинах конденсатора заряда.

Закон Ома в комплексном виде. Комплекс напряжения Ù = U . Комплекс тока Í = I . Комплекс сопротивления Ż = Ù/Í = U/I ∙ = Xc = ( - ) = - .

Ù = - Í. (6-24)

Комплекс сопротивления электрической цепи с конденсатором является отрицательным мнимым числом, модуль которого равен .

Уравнение мощности. Если в цепь переменного тока включен только конденсатор, то уравнения для мгновенных значение напряжения и тока запишутся как

u = U_m

и

i = I_m .

Рис. 73

Тогда

Подставляя в это выражение = получим

. (6-25)

Мощность в рассматриваемой цепи изменяется аналогично мощности в цепи с индуктивным элементом, т.е. синусоидально с удвоенной частотой 2ω. Как следует из рис. 73 , мощность положительна (вторая и четвертая четверти периода), когда ток и напряжение имеют одинаковые знаки, и отрицательна (первая и третья четверти периода, когда ток и напряжение имеют различные знаки. Кроме того, во время увеличения абсолютного значения напряжения мощность цепи положительна, а во время его уменьшения – отрицательна. Это объясняется тем, что с увеличением напряжения конденсатор заряжается, между его пластинами создается электрическое поле и увеличивается энергия, запасенная этим полем (ток уменьшается). . Когда конденсатор разряжается, энергия поля уменьшается, переходит в электрическую и возвращается к источнику питания (ток возрастает).

Мощность, как скорость преобразования энергии отображает процесс преобразования электрической энергии источника и энергии электрического поля конденсатора.

Таким образом, в цепи с емкостным элементом происходит периодический обмен энергии без преобразования электрической энергии источника в тепловую или механическую.

Активная мощность рассматриваемой цепи:

=0.

Так как в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на 90⁰, то φ = 90⁰; Поэтому активная мощность также равна нулю, т.е. в такой цепи , как и в цепи с чистой индуктивностью, расхода мощности нет.

Для установления скорости обмена энергии в рассматриваемой цепи аналогично цепи с индуктивным элементом вводится понятие реактивной (емкостной) мощности:

= UI (6-26)

Реактивная мощность измеряется в варах.

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C – ЭЛЕМЕНТОВ.

На рис.74 в цепь переменного тока последовательно включены резистор, идеальная катушка индуктивности и идеальный конденсатор. Эту цепь можно представить как последовательное соединение активного сопротивления R , индуктивного сопротивления X_L и емкостного сопротивления X_c.

Рис.74

Уравнение напряжений. При протекании в цепи синусоидального тока

(6-27)

на каждом элементе цепи создается падение напряжения: на резисторе – активное падение напряжения U_a = U_R; на катушке – индуктивное падение напряжения U_L; на конденсаторе - емкостное падение напряжения U_c.

Мгновенное значение полного (общего или результирующего) значения напряжения в любой момент времени

u = u_a + u_L + u_c . (6-28)

Причем активная составляющая напряжения

(6-29)

индуктивная

= (6-30)

емкостная

). (6-31)

Результирующее напряжение

+ + ). (6-31)

Для нахождения амплитудного или действующего значения результирующего напряжения и фазового сдвига между напряжением и током воспользуемся векторной диаграммой действующих значений напряжений. Построение осуществляется в такой последовательности:

1) вектор тока Iоткладывается по горизонтальной прямой, так как его начальная фаза равна нулю;

2) вектор U_a совпадает по фазе с вектором I;

3) от конца вектора U_aоткладывается вектор U_L, направленный вертикально вверх (начальная фаза +π/2);

4) от конца вектора U_L откладывается вектор U_c, направленный вертикально вниз (начальная фаза –π/2);

5) складывая векторы U_a, U_L, U_c, получаем вектор результирующего напряжения цепи

U = U_a + U_L + U_c. (6-32)

Модуль результирующего напряжения находится из прямоугольного треугольника:

. (6-33)

Нахождение результирующего напряжения с использованием векторного сложения напряжений на отдельных участках цепи возможно с использованием правила параллелограмма.

а б

Рис. 75 Диаграммы напряжений для R, L, C – цепи.

Напряжения и сдвинуты по фазе на 180⁰ (находятся в противофазе). Поэтому при геометрическом сложении векторов они взаимно вычитаются. Векторная разность называется реактивным напряжением. Складывая вектора U_aпо правилу параллелограмма, находим величину и направление вектора результирующего напряжения U.

Анализируя векторную диаграмму напряжений для RLC-цепи, можно сделать вывод, что при U_L > U_c вектор результирующего напряжения опережает вектор тока на угол φ < 90⁰, а при U_L < U_c результирующий вектор напряжения отстает от вектора тока на угол φ < 90⁰.

Из треугольника напряжений тригонометрические функции угла сдвига фаз можно записать в виде:

; (6-34)

Треугольник сопротивлений. Поделив каждую сторону треугольника напряжений на одно и то же число (на ток) получим подобный треугольник – треугольник сопротивлений для RLC-цепи, т.е. ; полное сопротивление

Величина полного напряжения определяется выражением , а ток в цепи равен

. (6-35)

Тогда полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно:

. (6-36)

Из треугольника сопротивлений следует, что фазовый сдвиг между током и полным напряжением определяется из условия:

. (6-37)

Видно, чем больше активное сопротивление, тем меньше сдвиг фаз.

Уравнение мощности. Треугольник мощностей. Для построения треугольника мощностей умножим все стороны треугольника напряжений на ток . Тогда активная мощность

. (6-38)

Измеряется активная мощность в ваттах (ВТ).

Рис.76

Индуктивная мощность

= . (6-39)

Емкостная мощность

. (6-40)

Полная реактивная мощность

. (6-41)

Измеряется реактивная мощность – вольт –ампер - реактивный (ВАР)

Полная мощность цепи

(6-42)

Измеряется полная мощность - вольт на ампер (ВА).