Математические модели биполярных транзисторов

Математическая модель БТ, как и любого другого электронного прибора, с той или иной степенью точности описывает его электрические свойства с помощью математических выражений или эквивалентных схем. Электрические характеристики эквивалентных схем, состоящих из более простых элементов (диодов, управляемых источников тока, резисторов, конденсаторов и др.), для определенных режимов работы и диапазонов рабочих частот оказываются близкими к характеристикам реальных приборов. Поэтому математические модели используются при проведении проектирования радиоэлектронных схем на основе БТ для расчета характеристик и параметров как самого прибора, так и всей схемы в целом. Степень точности математической модели зависит от числа ее параметров или элементов эквивалентной схемы. Чем сложнее модель, тем она точнее, но тем более сложно ею пользоваться. Очень важно знать не только систему параметров каждой модели, но и диапазон ее применимости.

Существующие модели транзисторов можно разделить на два вида: нелинейные модели и малосигнальные (линейные). Нелинейные модели предназначены для математического описания БТ, работающего в режиме большого сигнала, когда амплитудные значения переменных составляющих токов транзистора , , и напряжений между его выводами , соизмеримы с уровнем постоянных составляющих токов , , и напряжений , :

, , ;

, .

В режиме большого сигнала БТ работает в таких устройствах, как мощные усилительные каскады, генераторы синусоидальных и импульсных сигналов, различные импульсные и цифровые устройства. Кроме того, нелинейные модели позволяют рассчитывать статические ВАХ БТ.

Малосигнальные модели используются при описании устройств, в которых транзистор работает в активном режиме на линейных участках ВАХ. К ним относятся малосигнальные (линейные) усилительные каскады. В этом случае амплитудные значения переменных составляющих токов транзистора , , и напряжений между его выводами , много меньше уровня постоянных составляющих токов , , и напряжений , :

, , ;

, .

3.2. Модель Эберса – Молла

Модель Эберса – Молла является наиболее распространенной нелинейной моделью, ее вариант для n-p-n-транзистора показан на рис. 3.1. Диод VD1 моделирует свойства эмиттерного перехода, а диод VD2 – коллекторного. ВАХ диодов аппроксимируются выражениями:

, (20.23)

, (20.24)

Рис. 3.1

где , – параметры модели, имеющие смысл тепловых обратных токов насыщения эмиттерного и коллекторного переходов; , – коэффициенты неидеальности ВАХ эмиттерного и коллекторного переходов БТ; – тепловой потенциал микрочастицы, при температуре T=300 К тепловой потенциал принимает значение ; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура перехода; q – элементарный заряд. Положительными считаются токи , и напряжения , , соответствующие прямым включениям переходов. Положительные направления токов во внешних выводах эмиттера, базы и коллектора совпадают с направлениями токов в активном режиме. (Система индексов имеет следующий смысл: , , где , и – потенциалы эмиттера, базы и коллектора. При перемене порядка индексов изменяется знак, например ).

Источники токов отображают взаимодействие переходов. Источник тока , подключенный параллельно диоду VD2, учитывает передачу тока из эмиттера в коллектор, а источник тока – из коллектора в эмиттер. Токи , , если они положительны, имеют смысл токов инжекции через переходы. Заметим, что в первом приближении токи , не зависят от напряжения, действующего в той цепи, в которую включен соответствующий источник тока. Параметры модели и являются статическими коэффициентами передачи по току в схеме с общей базой (ОБ) в активном и инверсном режиме работы БТ и определяются соответственно соотношениями

,

,

где , – обратные или тепловые токи коллекторного и эмиттерного переходов. В транзисторе выполняется соотношение взаимности , поэтому только три из четырех параметров являются независимыми.

Таким образом, в модели (см. рис. 3.1) диоды VD1, VD2 отображают инжекцию (экстракцию) носителей через эмиттерный и коллекторный переходы. Параметр и источник тока отражают инжекцию электронов из эмиттера в базу, их перенос через базу в коллектор, а также нежелательную инжекцию дырок из базы в эмиттер. Аналогично параметр и источник тока отражают инжекцию электронов из коллектора в базу, их перенос через базу в эмиттер и инжекцию дырок из базы в коллектор. Токи эмиттера и коллектора (см. рис. 3.1) связаны с внутренними токами модели соотношениями

, (20.25)

. (20.26)

Подставив (3.1)–(3.2) в (3.3)–(3.4), получаем систему уравнений, связывающих токи БТ с напряжениями:

; (20.27)

; (20.28)

. (20.29)

Из этих уравнений можно получить аналитические выражения для любого семейства ВАХ БТ в любой схеме включения.

Резисторы , , моделируют суммарное сопротивление: объемного сопротивления, омического контакта и вывода эмиттера, базы и коллектора соответственно. Из-за падения напряжения, обусловленного протеканием через них токов выводов БТ, токи диодов VD1 и VD2 определяются не внешними напряжениями и , а внутренними и . Конденсаторы , , , – моделируют барьерные и диффузионные емкости эмиттерного и коллекторного переходов транзистора, т.е. отражают инерционные свойства переходов при работе БТ с переменными сигналами. Барьерные и диффузионные емкости зависят от напряжений и , поэтому в модели используются либо усредненные постоянные значения емкостей – параметры модели, либо для повышения точности зависимости , , что приводит к увеличению числа параметров модели.

Рассмотренная модель Эберса – Молла не учитывает некоторых особенностей работы реального транзистора: ток рекомбинации эмиттерного перехода, эффект модуляции толщины базы, эффекты высокого уровня инжекции, токи термогенерации и утечки переходов и др. Поэтому точность модели невелика, а ее применимость ограничена. Для повышения точности модели в нее вводят дополнительные элементы, учитывающие те или иные эффекты, перечисленные выше, и получают более сложные модификации исходной модели. Однако при усложнении модели ее точность хотя и возрастает, но возникают трудности экспериментального определения все большего числа параметров, многие из которых не могут быть измерены непосредственно. Поэтому применяемые для расчета электронных схем модифицированные модели Эберса – Молла представляют компромисс между точностью и сложностью.

3.3. Малосигнальная физическая Т-образная эквивалентная схема

Малосигнальная Т-образная эквивалентная схема БТ с ОБ в активном режиме показана на рис. 3.2. Она получена из модели Эберса – Молла (см. рис. 3.1) путем замены диодов VD1 и VD2 резисторами , , сопротивления которых равны дифференциальным сопротивлениям эмиттерного и коллекторного переходов. Кроме того, исключены резисторы , , имеющие малое сопротивление, источник тока и конденсатор , поскольку при обратном смещении коллекторного перехода ток очень мал, а диффузионная емкость коллекторного перехода отсутствует.

Рис. 3.2

Следует помнить, что при заданных постоянных составляющих тока эмиттера и напряжения на коллекторе параметры модели постоянны, однако они могут изменяться при изменении постоянных составляющих.

При анализе усилительных устройств на БТ, включенном по схеме с общим эмиттером (ОЭ), данной эквивалентной схемой (см. рис. 3.2) неудобно пользоваться, поскольку выходной ток определяется током общего вывода . Используя теорему об эквивалентном генераторе тока, после соответствующих преобразований можно получить эквивалентную схему для включения с ОЭ, показанную на рис. 3.3. В данной схеме ток управляемого источника определяется входным током базы . При этом коллекторный переход описывается резистором с сопротивлением меньше дифференциального сопротивления коллекторного перехода и конденсатором с емкостью больше барьерной емкости коллекторного перехода . В данных выражениях – статический коэффициент передачи по току в схеме с ОЭ.

Конденсаторы, моделирующие емкости p-n-перехода (см. рис. 3.2, 3.3), при рассмотрении работы БТ на низких частотах из схем можно исключить ввиду малой величины их емкости. На низких частотах их реактивное сопротивление оказывается очень большим и не влияет на работу усилителя. На высоких частотах их реактивное сопротивление уменьшается и становится соизмеримым с сопротивлениями переходов, поэтому они включаются в эквивалентную схему БТ на высоких частотах.

Рис. 3.3

3.4. Формальная модель (система h-параметров)

Транзистор можно рассматривать как четырехполюсник (рис. 3.4), связь между напряжениями и токами которого описывается двумя функциями, в общем случае – нелинейными. В режиме малого сигнала статические характеристики БТ можно считать линейными, а значит, линейными будут и функциональные зависимости переменных составляющих токов и напряжений. Поэтому в режиме малого сигнала БТ можно рассматривать как линейный четырехполюсник, который в общем случае описывается различными системами параметров Z, Y, H и т.д.

Если в качестве независимых переменных выбрать входной ток и выходное напряжение , тогда функциональные зависимости будут иметь вид , . Для малых приращений токов и напряжений, используя теорему Тейлора в первом приближении, получим

; . (20.30)

Приращения токов и напряжений можно рассматривать как гармонические колебания с комплексными амплитудами , , , . Частные производные обозначим , , , и получим уравнения четырехполюсника в следующем виде:

; . (20.31)

Физический смысл h-параметров вытекает из данной системы уравнений: – входное сопротивление в режиме короткого замыкания на выходе для переменного тока; – коэффициент прямой передачи по току в режиме короткого замыкания на выходе для переменного тока; – коэффициент обратной связи по напряжению в режиме холостого хода по входу для переменного тока; – выходная проводимость в режиме холостого хода по входу для переменного тока.

Значения h-параметров зависят от рабочей точки, частоты сигнала (на высоких частотах они носят комплексный характер), а также от схемы включения БТ, в обозначении имеется третий индекс – б, э, к для схем включения ОБ, ОЭ, ОК соответственно.

На низких частотах, когда емкостными составляющими токов транзистора можно пренебречь ввиду их малости, h-параметры являются действительными величинами и представляют собой дифференциальные параметры, которые легко определяются по семействам ВАХ транзистора.

Система h-параметров БТ широко используется в инженерных методах расчета малосигнальных (линейных) усилителей. Как будет показано ниже, по значениям h-параметров БТ можно рассчитать основные параметры усилительного устройства. Поэтому важно уметь определять их значения в требуемой рабочей точке.

На рис. 3.5 показан графический способ определения h-параметров БТ, включенного по схеме с ОЭ. В заданной рабочей точке А на линейном участке семейства входных характеристик строим треугольник, проведя прямые параллельно оси абсцисс и ординат до пересечения со следующей характеристикой. Значения приращения токов и напряжений позволяют определить параметры h_11э и h_12э согласно выражениям:

, (20.32)

. (20.33)

Параметры h_21э, h_22э определяются по семейству выходных характеристик. Обратите внимание на различие в обозначении статического коэффициента передачи по току в схеме с ОЭ h_21Э и дифференциального параметра h_21э. Через точку А' на семействе выходных ВАХ, соответствующей точке А на семействе входных ВАХ, проводим вертикальную прямую до пересечения с соседней характеристикой и находим и . Задав приращение напряжения U_кэ и оставаясь на кривой, соответствующей току базы , находим . Тогда h_21э, h_22э вычисляем по формулам

, (20.34)

. (20.35)

а б

Рис. 3.5

Элементы малосигнальной T-образной эквивалентной схемы БТ с ОЭ, соответствующие определенной рабочей точке, можно определить по h-параметрам, найденным в ней:

; ; (20.36)

; . (20.37)

На практике по графикам очень трудно определить h_12э, поэтому сопротивление лучше рассчитать, пользуясь выражением для дифференциального сопротивления эмиттерного перехода , где – ток эмиттера в рабочей точке.

3.5. Модель Гуммеля – Пуна

При автоматизированном моделировании БТ на ЭВМ на первое место по сравнению с вычислительной простотой выходит точность моделей. Математические модели БТ, предназначенные для автоматизированного проектирования, должны обеспечивать высокую точность расчетов, как для большого, так и для малого сигнала, а описывающие их параметры должны достаточно легко определяться и проверяться. Чтобы описать эффекты, не учитываемые моделью Эберса – Молла, систему уравнений (3.5)–(3.7) следует дополнить соответствующими членами. Гуммель и Пун продемонстрировали относительно простые методы, с помощью которых эту систему уравнений можно модифицировать таким образом, чтобы описать три важных эффекта второго порядка: 1) рекомбинацию в области объемного заряда эмиттерного перехода при малых напряжениях смещения эмиттер – база; 2) снижение коэффициента усиления по току, наблюдаемое при больших токах; 3) влияние расширения области объемного заряда (эффект модуляции ширины базы или эффект Эрли) на ток связи между эмиттером и коллектором. Эти эффекты второго порядка вызывают отклонение реальных характеристик приборов от идеальных, как показано на рис. 3.6. Цифры (см. рис. 3.6) соответствуют нумерации эффектов в тексте. В результате такой модификации с включением указанных эффектов получается модель Гуммеля – Пуна, удобная для автоматизированного моделирования. Модель Гуммеля – Пуна используется в модуле PSpice пакета OrCAD. Перечень параметров этой модели приведен в табл. 12.16, а эквивалентная схема БТ, соответствующая данной модели, показана на рис. 3.7. Обозначения элементов (рис. 3.7) соответствуют обозначениям параметров модели БТ в модуле PSpice.

а б Рис. 3.6

Снижение коэффициента передачи по току при больших токах (эффект больших токов) описывается в модели Гуммеля – Пуна такими параметрами, как ток начала спада зависимости от тока коллектора в активном и инверсном режиме (IKF, IKR). Параметр IKF определяется координатой точки пересечения прямой, аппроксимирующей зависимость при больших токах, с осью токов, как показано на рис. 3.6,а. Эффект модуляции ширины базы учитывается такими параметрами, как напряжение Эрли в активном и инверсном режиме (VAF, VAR). Параметр VAF определяется координатой точки пересечения прямых, аппроксимирующих выходные характеристики БТ с ОЭ на участке активного режима, с осью напряжений, как показано на рис. 3.6,б. Параметры IKF, IKR, VAF, VAR входят в выражение для заряда базы (см. рис. 3.7).

Рекомбинация в области объемного заряда эмиттерного перехода при малых напряжениях смещения эмиттер – база (рис. 3.6,а) в модели Гуммеля – Пуна учитывается следующим образом. Токи эмиттерного и коллекторного переходов представляются суперпозицией тока идеального и неидеального переходов, что на эквивалентной схеме (см. рис. 3.7) представлено четырьмя диодами.

Рис. 3.7

3.6. Частотные свойства БТ

Параметры транзистора и в первую очередь его усилительные свойства в значительной степени зависят от частоты усиливаемого сигнала. Причинами этого являются инерционность процессов переноса инжектированных носителей из эмиттера транзистора в коллектор, а также наличие емкостей и сопротивлений переходов транзистора.

При усилении сигнала с частотой f = 1/T, если время пролета носителей соизмеримо с периодом усиливаемых колебаний ~T, то происходит запаздывание коллекторного тока по отношению к эмиттерному. Момент времени, соответствующий максимальному значению тока коллектора, отстает от момента времени в точке максимума тока эмиттера, как показано на рис. 3.8. Это приводит к появлению фазового сдвига между током эмиттера и током коллектора на векторной диаграмме, которая показана на рис. 3.9. Коэффициенты передачи по току в схеме с ОБ и ОЭ становятся комплексными величинами:

; . (20.38)

Сравнение векторных диаграмм для токов БТ на низких (рис. 3.9,а) и высоких частотах (рис. 3.9,б) показывает, что появление такого фазового сдвига приводит к росту амплитуды тока базы, а значит, к уменьшению значения модуля коэффициента передачи по току в схеме с ОБ.

Частотные зависимости комплексных коэффициентов передачи по току в схемах с ОБ и ОЭ описываются следующими выражениями:

; , (20.40)

где ; , – статические коэффициенты передачи по току БТ в схеме с ОБ и ОЭ соответственно; , – предельные частоты коэффициентов передачи по току в схеме с ОБ и ОЭ соответственно.

Предельной частотой коэффициента передачи по току в схеме с ОБ (ОЭ) ( ) называется частота, на которой модуль коэффициента передачи по току в схеме с ОБ (ОЭ) уменьшается в раз по сравнению с его низкочастотным значением.

Частотные зависимости модулей комплексных коэффициентов передачи по току в схемах с ОБ и ОЭ описываются выражениями

; . (20.1)

На рис. 3.10 показаны графики зависимостей модуля и фазы комплексных коэффициентов передачи по току в схемах с ОБ и ОЭ. На низких частотах фаза комплексных коэффициентов передачи по току стремится к 0, на высоких частотах к –90°, а на частоте, равной предельной, фаза равна –45°.

Предельная частота в схеме с ОБ значительно выше, чем в схеме с ОЭ:

, (20.42)

где m=0,2…0,6.

Частотные свойства БТ описываются еще одним параметром – граничной частотой коэффициента передачи по току в схеме с ОЭ, на которой модуль коэффициента передачи по току в схеме с ОЭ становится равным единице (рис. 3.10). Из данного определения легко устанавливается связь между граничной частотой и предельной частотой коэффициента передачи по току в схеме с ОЭ. Из (3.18) можно записать

,

тогда, если пренебречь в подкоренном выражении 1, получим

. (20.43)

Уменьшение модуля коэффициента передачи по току БТ с ростом частоты приводит к уменьшению коэффициентов усиления по напряжению и мощности усилителей на их основе. Наибольшую частоту, при которой транзистор способен генерировать колебания в схеме автогенератора, называют максимальной частотой генерации . Ее связь с граничной частотой описывается выражением

. (20.44)

Коэффициент усиления по мощности БТ на частоте становится равным единице, т.е. транзистор на частотах выше теряет способность усиливать электрические сигналы.

Механизм влияния емкостей переходов БТ на его усилительные свойства с ростом частоты сигнала заключается в следующем. Уменьшение реактивного сопротивления емкостей переходов с ростом частоты приводит к уменьшению входного и выходного сопротивления БТ, а значит, и к уменьшению амплитуды полезного сигнала на входе и выходе усилителя, т.е. к уменьшению коэффициента усиления по напряжению.

Для повышения рабочего диапазона частот БТ необходимо:

уменьшать их геометрические размеры – ширину базы и площади поперечного сечения переходов, уменьшая тем самым время пролета и емкости переходов;

увеличивать скорость движения инжектированных носителей путем неравномерного легирования базы (для создания дополнительного ускоряющего поля в ней); использования полупроводниковых материалов с большей подвижностью носителей (арсенид галлия, фосфид индия);

уменьшать сопротивление базы, используя в структуре БТ гетеропереход, в котором односторонняя инжекция из эмиттера в базу возможна при концентрации примеси в базе большей, чем в эмиттере.