Сферическая преломляющая поверхность. Анаберрационные точки

Если предмет находится в бесконечности ( ∞). то сферическая преломляющая поверхность всегда имеет сферическую аберрацию. Если поверхность собирающая, то сферическая аберрация отрицательная, и наоборот, если поверхность рассеивающая, то сферическая аберрация положительная.

У каждой сферической поверхности есть три пары точек, в которых сферическая аберрация отсутствует. Эти точки называются анаберрационными.

Рис. 2.49. Сферическая преломляющая поверхность.

Обратимся к рис. 2.49. Из ΔAMO следует:

,

,

. (2.26)

Из ΔOMA' получаем:

,

, (2.27)

. (2.28)

В общем случае при изменении угла σ отрезок S' меняется.

Из (2.27) получаем:

. (2.29)

Условие отсутствия сферической аберрации:

,

.

Поставленное условие может быть выполнено, если и , так как .

, (2.30)

. (2.31)

Подставляя (2.30) в (2.29), получаем:

,

(2.32)

Используя инвариант Аббе для параксиальной области (2.33):

, (2.33)

находим значение переднего отрезка S:

. (2.34)

Приравнивая (2.26) и (2.28) и принимая во внимание σ' = -ε, получаем:

σ = -ε'. (2.35)

Следующая пара анаберрационных точек находится в центре кривизны поверхности. Лучи проходят не преломляясь, сферическая аберрация отсутствует: S = r, S' = r.

Третья пара анаберрационных точек находиться в вершине поверхности: S = 0, S' = 0.

Рассмотрим положение анаберрационных точек на примере (рис. 2.50).

Рис. 2.50. Анаберрационные точки преломляющей поверхности.

Пусть r = 50, n = 1 и n' = 1.5182. Применяя формулы (2.32) и (2.34), получаем S = 125.91, S' = 89.93. Предметная точка A₁ получилась мнимая, а точка изображения - действительная.

Вторая пара анаберрационных точек A₂ и совпадает с центром кривизны C, S = S' = 50.

Третья пара A₃ и находятся в вершине поверхности S = S' = 0.

Определим линейное увеличение для трех пар аберрационных точек. На рис. 2.51 приведена идеальная оптическая система.

Рис. 2.51. Идеальная оптическая система.

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца имеет вид:

n·α·y = n'·α'·y'. (2.36)

Линейное увеличение равно:

.

Для первой пары анаберрационных точек имеем:

,

n·ε = n'·ε'.

Для точки в вершине поверхности получаем:

.

Для второй пары анаберрационных точек σ = σ' и увеличение равно:

.