Теоретические основы

При наличии определенной симметрии в расположении зарядов, в некоторых случаях для расчета напряженности электрического поля применяется теорема Гаусса:

,(3.1)

Поток вектора напряженности в левой части выражения (3.1) вычисляется по любой наиболее удобной замкнутой поверхности S, а в правой части учтены только заряды Q_i,заключенные внутри этой поверхности.

При непрерывном распределении зарядов суммирование зарядов в правой части уравнения (3.1) заменяется интегрированием плотности электрического заряда ρ по объему V, охватываемому замкнутой поверхностью S:

, (3.2)

Чтобы избежать затруднений связанных с выбором замкнутой поверхности S при использовании теоремы Гаусса, необходимо найти направление вектора в пространстве, окружающем заряженное тело из соображений симметрии. При этом точка, в которой определяют вектор напряженности, должна принадлежать замкнутой поверхности интегрирования S. Поверхность S выбирают симметричной расположению зарядов, а ее составные части должны быть либо перпендикулярны (S_i), либо касательные к вектору напряженности (S_j).

В этом случае поток вектора напряженности через замкнутую поверхность можно представить как сумму поверхностных интегралов:

, (3.3)

где вторая сумма равна нулю , а первая преобразуется к виду , где α_i = 0 или α_i = π.

Напряжённость и потенциал связаны между собой следующими соотношениями

или (3.4)

Потенциал электрического поля в заданной точке А определяется по известной функциональной зависимости . При этом принимают, что потенциал поля в точке Р равен нулю. Для точечных и сферически симметричных зарядов эту точку удобно располагать на бесконечности. Из формулы (2.17) следует разность потенциаловмежду двумя точками поля А и В

, (3.5)