Примеры решения заданий для выполнения расчётно-графических работ

Пример 3.1. На поверхности бесконечного полого цилиндра, радиусом R = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 1 нКл/м.

1. Построить график изменения напряженности электрического поля в зависимости от расстояния до оси цилиндра Е = Е(r).

2. Найти разность потенциалов между осью цилиндра и точкой А, находящейся на расстоянии d = 20 см от нее.

Решение

Из соображений симметрии, очевидно, что вектор напряженности электрического поля может быть направлен только радиально. Законы изменения напряжённости поля с расстоянием от оси внутри и снаружи цилиндра могут различаться. Поэтому область 1– внутри цилиндра и область 2 – снаружи необходимо исследовать отдельно.

Для определения напряженности в произвольной точке В, находящейся внутри заданного цилиндра (рис. 11, а), выберем замкнутую поверхность в виде второго (вспомогательного) цилиндра радиусом r, ось которого совпадает с осью заданного цилиндра (цилиндры коаксиальные). Второй цилиндр имеет боковую поверхность S_бок и два основания S_осн1 и S_осн2. Его радиус равен расстоянию от оси до точки В. Таким образом, точка В находится на боковой поверхности второго цилиндра. Зарядов внутри него нет.

В соответствии с теоремой Гаусса (3.1)

Интеграл по замкнутой поверхности S можно представить в виде суммы интегралов по основаниям и боковой поверхности

, (3.6)

Так как вектор напряженности направлен радиально, то скалярные произведения в первых двух интегралах равны нулю, а в последнем, .

Из соображения симметрии напряженности поля в точках, принадлежащих боковой поверхности, должны быть одинаковыми. Тогда равенство (3.6) примет вид

, (3.7)

Равенство (3.7) может иметь место только при выполнении условия Е = 0. Таким образом, в любой точке внутри заряженного по поверхности цилиндра напряженность электрического поля равна нулю.

Для определения напряженности в произвольной точке С, снаружи заданного цилиндра, аналогично выберем вспомогательную замкнутую поверхность в виде третьего коаксиального цилиндра высотой L (рис. 11, б). Его радиус равен расстоянию от точки С до оси заданного цилиндра. Так как внутри вспомогательной поверхности интегрирования находится заряд , то для нее теорема Гаусса имеет вид

, (3.8)

Интеграл в левой части этого равенства по аналогии с предыдущим случаем представим в виде суммы таких же трех интегралов, из которых ненулевым является только интеграл по боковой поверхности (рис. 2.10, б):

Последний интеграл равен площади боковой поверхности цилиндра S_6ок = 2πrL.

Из теоремы Гаусса получим

. (3.9)

Отсюда напряжённость электростатического поля

при . (3.10)

При r = R значение напряженность поля максимально

. (3.11)

Так как внутри цилиндра поле отсутствует, то разность потенциалов между осью и заданной точкой А равна разности потенциалов между поверхностью цилиндра и этой точкой

=

Вычисления

.

Ответ: график изменения напряженности электрического поля с расстоянием от оси цилиндра приведен на рис. 2.12, разность потенциалов между осью цилиндра и точкой А равна 12, 5 В

Пример 3.2. Система зарядов представляет собой ядро с положительным зарядом равным элементарному заряду и «облако» отрицательного заряда, объемная плотность которого изменяется с расстоянием от ядра по закону

, (3.12)

где R – радиус, численно равный первой боровской орбите электрона в атоме водорода (R = 0,53∙10^–10 м); е – элементарный заряд (е = 1,6∙10^–19 Кл); r - расстояние от центра ядра, м.

Найти напряженность электрического поля на расстоянии R от ядра.

Решение

Выберем замкнутую сферическую поверхность с радиусом, равным R и центром в ядре (размерами ядра можнопренебречь). Из соображений симметрии во всех точках этой поверхности вектор напряженности электрического поля одинаков по модулю и перпендикулярен к поверхности (рис.13). Поэтому теорему Гаусса () для выбранной поверхности S запишем в виде

, (3.13)

где Q - суммарный заряд, находящийся внутри выбранной сферы, т.е. положительный заряд ядра, равный е, и отрицательный заряд электронного «облака» Q_обл. Этот заряд определим интегрированием плотности отрицательного заряда электронного «облака» по внутреннему объему выбранной сферы. Тогда

. (3.14)

Учитывая сферическую симметрию, элемент объема dV можно представить в виде dV = 4pr²dr. Тогда

(3.15)

Выбор метода вычисления студент определяет самостоятельно. Можно использовать метод интегрирования по частям или воспользоваться математическими справочниками. В результате получим

Используя теорему Гаусса , и, учитывая, что интеграл в левой части равен площади поверхности сферы S = 4pR² для напряжённости поля получим

.

Вычисления

» 3,5∙10¹¹ В/м.

Ответ: напряженность электрического поля на расстоянии R от ядра равна 3,5∙10¹¹ В/м.