Тема 3.2 Совершенная ДНФ. Совершенная КНФ.

Совершенной дизъюнктивной формой формулы алгебры высказываний (СДНФ) называется ДНФ, в которой:

1. различны все члены дизъюнкции;

2. различны все члены каждой конъюнкции;

3. ни одна конъюнкция не содержит одновременно переменную и отрицание этой переменной;

4. каждая конъюнкция содержит все переменные, входящие в формулу, т.е. имеет вид

,

где дизъюнкция берется по всем наборам с=(с₁, с₂, …, с_n) из 0 и 1, для которых F(c)=1.

Теорема (о СДНФ). Для всякой не равной тождественному нулю формулы логики высказываний F(x₁, x₂, …, x_n) существует такая формула F₁, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СДНФ относительно этого списка, что F₁ выражает собой формулу F. Формула F₁ определена однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Совершенной конъюнктивной формулой формулы алгебры высказываний (СКНФ) называется КНФ, в которой:

1. различны все члены конъюнкции;

2. различны все члены каждой дизъюнкции;

3. ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с отрицанием этой переменной;

4. каждая дизъюнкция содержит все переменные, входящие в исходную формулу, т. е. имеет вид

,

где конъюнкция берется по всем наборам с=(с₁, с₂, …, с_n) из 0 и 1, для которых F(c)=0.

Теорема (о СКНФ). Для всякой не равной тождественной единице формулы логики высказываний F(x₁, x₂, …, x_n) существует такая формула F₁, зависящая от того же списка переменных и находящаяся в СКНФ относительно этого списка, что F₁ выражает собой формулу F. Формула F₁ определена однозначно с точностью до перестановки конъюнктивных членов.

Опишем два способа приведения к совершенным нормальным формам.

1-й способ – аналитический.

Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения.

1. привести формулу с помощью равносильных преобразований к ДНФ.

2. удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся);

3. из одинаковых членов дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;

4. из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;

5. если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной x_i из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции;

6. если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п. 3.

Полученная формула и является СДНФ данной формулы.

Привести следующие формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1. .

2.

3.

Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения.

1. привести формулу с помощью равносильных преобразований к КНФ.

2. удалить члены конъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если такие окажутся);

3. из одинаковых членов конъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;

4. из одинаковых членов каждой дизъюнкции (если такие окажутся) удалить все, кроме одного;

5. если в какой-нибудь дизъюнкции не содержится переменной x_i из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой дизъюнкции член и применить закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции;

6. если в полученной конъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием из п. 3.

Полученная формула и является СКНФ данной формулы.

Привести следующие формулы к СКНФ с помощью равносильных преобразований:

1. ;

2. .

Решение.

1.

2.

2-й способ – табличный.

Составляем таблицу истинности для данной функции.

Приведение к СДНФ. Алгоритм приведения.

Строим таблицу значений формулы. Рассматриваем только те строки, в которых значение формулы равно единице. Каждой такой строке соответствует конъюнкция всех аргументов (без повторений). Причем, аргумент, принимающий значение 0, входит в нее с отрицанием, значение 1 – без отрицания. Наконец, образуем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций.

Построить СДНФ для данных формул логики высказываний.

1. .

2.

Решение.

1. .

Строим таблицу истинности для формулы F:

№	x	y	z

Рассматриваем только 4, 5 и 7 наборы, так как только на этих наборах формула принимает значение равное единице.

СДНФ имеет вид:

2. 2.

Строим таблицу истинности для формулы F:

СДНФ (1): № 3:

F = x y.

Приведение к СКНФ. Алгоритм приведения.

Рассматриваем только те строки таблицы, где формула принимает значение 0. Каждой такой строке соответствует дизъюнкция всех переменных (без повторений). Причем аргумент, принимающий значение 0, берется без отрицания, значение 1 – с отрицанием. Наконец, образуют конъюнкцию полученных дизъюнкций.

Построить СКНФ для данных формул логики высказываний.

1. .

2.

Решение.

3. Строим таблицу значений, используя предыдущий пример.

№	x	y	z

Рассматриваем только наборы, на которых формула принимает значение ноль.

СКНФ (0): № 0, 1, 2, 3, 6:

4. Строим таблицу значений, используя предыдущий пример.

СКНФ (0): № 0, 1, 2: