Моделирование процесса достижения равновесия

Цена равновесия может быть интерпретирована как «справедливая» цена обмена, которая устанавливается в результате многочисленных парных сделок между продавцами и покупателями. Это состояние равновесия замечательно тем, что в нем полностью удовлетворен спрос, а также отсутствует излишнее производство товара, т.е. нет перепроизводства продукта и нерационального расходования производственных ресурсов. Таким образом, с производственной точки зрения, состояние равновесия соответствует наибольшей экономии ресурсов. В связи с этим состояние равновесия является приемлемым и подходящим для обеих групп участников рыночного обмена: производителей и потребителей; и поэтому может выступить как конечная цель процесса регулирования при помощи цен.

Как правило, в конкурентной экономике без сговора (коалиции) достижение равновесия есть стихийный процесс, основанный на том, что при любой цене, превышающей равновесную, количество товара, которое стремятся предложить продавцы (производители), будет превосходить то количество, на которое покупатели (потребители) намерены предъявить спрос; возникает давление на цену в сторону ее понижения, причем деятельность некоторых продавцов, желающих избавиться от товара, будет направлена против существующего (слишком высокого) уровня цены. Подобным же образом можно показать, что цена, находящаяся ниже уровня равновесия, испытывает давление в сторону повышения.

При возникновении и оформлении устойчивого спроса на товар в зависимости от цены, т.е. наличии не меняющейся во времени функции спроса D(p), различают, следуя А.Маршаллу, три основных вида рыночного равновесия:

1) мгновенное равновесие достигается в обстановке, когда предложение фиксировано ( ), т.е. производители товара не готовы к расширению производства или не в состоянии это сделать; равновесие такого рода обычно достигается при достаточно высокой цене , что и является стимулом для последующих действий производителей;

2) кратковременное равновесие возникает тогда, когда в действие вводятся наличные резервы (свободные производственные мощности) и предложение несколько увеличивается, причем ; равновесная цена в этой ситуации оказывается ниже , но и остается еще довольно высокой;

3) длительное нормальное равновесие устанавливается в ситуации, когда в деле принимают участие практически все производители, способные производить данный товар без резкой перестройки своей хозяйственной деятельности. Функция предложения также возрастающая и равновесная цена соответствует нормальным издержкам производства (рис. 7.7).

Процесс приближения к нормальному равновесию во времени можно представить при помощи последовательности малых дискретных шагов, используя представления о функциях спроса и предложения, которые сами могут изменяться в ходе рыночного процесса вследствие изменения условий производства и потребления.

Одна из основных моделей процесса достижения равновесия использует его дискретное представление с помощью так называемых «торговых» дней с номерами

Рис. 7.7. Длительное нормальное равновесие на рынке

Предполагается, что к началу торгового дня t известна начальная цена товара , которая полностью определяет объем предложения

.

Далее считается, что в течение дня предложенный товар полностью реализуется по цене , которая определяется из условия временного равновесия

и является исходной ценой для следующего торгового дня (t+1) и т.д.

Геометрическая иллюстрация этого процесса приближения к равновесию (рис. 7.8) напоминает паутину и поэтому сама модель часто называется паутинообразной. Можно показать, что сходимость казанного рыночного процесса будет гарантирована, если выполнено условие:

.

Рис. 7.8. Паутинообразная модель

Последнее означает, что для сходимости достаточно, чтобы маргинальное предложение не превосходило бы маргинального спроса, или, иными словами, положительная реакция производителя на повышение цены не была бы столь же значительной как отрицательная реакция потребителя, т.е. это процесс в обстановке относительно неактивных производителей. Заметим, что если , то возникает ситуация так называемого «свиного цикла», при которой состояние равновесия оказывается недостижимым. В случае, если наклон линии спроса круче наклона линии предложения, спираль будет раскручиваться в обратном порядке. Если наклоны линий спроса и предложения одинаковы, то паутина закольцуется (рис. 7.9)

D,S

Рис. 7.9. Закольцованная паутинообразная модель
(равновесие на рынке недостижимо)

Вторая модель процесса достижения равновесия, напротив, может быть использована для описания ситуации активных производителей, готовых сразу же откликнуться на возникающий спрос. Подобный процесс задается при помощи следующей системы соотношений: в торговый день t задано предложение и оно определяет цену как решение уравнения:

.

Эта цена характеризует объем спроса

а предложение на следующий торговый день прямо ориентируется на спрос предыдущего дня

Описанный процесс также может быть представлен при помощи паутинообразной модели, причем достаточное условие сходимости имеет вид:

что соответствует более сильной реакции производителей по сравнению с потребителями. Проиллюстрируем обсуждаемый процесс достижения равновесия на примере, который был представлен ранее.

Пусть функция предложения:

S(p) = 4p – 3,

а функция спроса:

Основное соотношение имеет вид:

Отсюда цена в каждый следующий рыночный день определяется через цену в предыдущий день по формуле:

Предположим, что начальная цена , и сведем результаты расчета в таблицу 7.1.

Таблица 7.1

Сходимость цены к равновесной во времени

Таким образом, мы видим, что по прошествии 11 «рыночных» дней процесс установления цены сходится к состоянию равновесия, причем получается уже известное нам значение равновесной цены . Заметим, что промежуточные значения цены попеременно становятся то больше, то меньше равновесной величины. Это означает, что процесс имеет колебательный характер с уменьшающейся амплитудой (рис. 7.10).

Строго монотонный характер имеет процесс достижения, известный под названием «нащупывание», в котором важную роль играет внешнее (централизованное) регулирование. Мы рассмотрим здесь одну из моделей такого процесса, которая носит имя П.Самуэльсона. В этой модели изменение цены прямо ставится в зависимость от величины избыточного спроса в торговый день t:

Рис. 7.10. Процесс сходимости цены к равновесной

При (спрос больше предложения) цена повышается, в противном случае снижается. Этот процесс сходится при любом соотношении между . Его наиболее распространенная интерпретация состоит в том, что на рынке имеется арбитр (аукционер), который оценивает величину остаточного спроса и на основании этой оценки объявляет цену ( ) на следующий день, а все участники процесса неукоснительно следуют его указаниям. Потребители образуют свой спрос в соответствии с функцией спроса D(p), а производители обеспечивают выпуск согласно функции предложения S(p). Величина a, которая называется параметром настройки, играет в этой схеме большую роль, поскольку при слишком малых его значениях процесс сходиться очень медленно, а при слишком больших может и не сходится к равновесию.

Продемонстрируем ход этого процесса на приведенном выше примере, причем положим значение параметра a = 0,1.

Основное соотношение имеет вид:

Результаты расчетов с приведены в таблице 7.2.

Таблица 7.2

«Нащупывание» равновесной цены по модели П.Самуэльсона

Для анализа свойств такого управляемого рыночного процесса может быть использована модель в дифференциальной форме:

Состояние равновесия на сложном рынке многих товаров также может быть определено с помощью функций спроса и предложения. Предположим, что на рынке выступает L различных товаров с номерами
l=1, ... , L. Обозначим через – систему цен на товары; – функции спроса, – функции предложения. Тогда равновесием в узком смысле является состояние, при котором реализуется совпадение спроса и предложения по всем товарным позициям:

где – система равновесных цен.

Равновесием в широком смысле следует полагать всякое состояние, для которого:

Свойства состояния равновесия на рынке многих товаров во многом подобны такому же состоянию на рынке одного товара. Однако для более тщательного его изучения полезно рассмотреть отдельно рынки взаимозаменяемых и взаимодополняющих товаров.

В случае рынка взаимозаменяемых товаров функции спроса удовлетворяют соотношениям:

Последнее условие означает, что при повышении цены на любой товар и неизменности цен на другие товары потребительский сектор будет снижать свой спрос на него, но одновременно повысит спрос на другие, заменяющие его, товары.

Процесс достижения равновесия в этом случае может быть представлен при помощи изучения последовательности «торговых дней». При этом считается, что к началу торгового дня (t+1) известна система цен , которая была сформирована ранее и послужила ориентиром для производителей, поставляющих на рынок товары в количествах:

В течение торгового дня (t+1) происходит полная распродажа товаров и новая система цен определяется в соответствии с функциями спроса. Иначе говоря, новая система цен находится как решение системы уравнений:

Следует заметить, что сходимость этого процесса к положению равновесия обеспечена в том случае, когда выполнено условие:

,

где – матрицы Якоби (составленные из первых частных производных) для функций предложения и спроса соответственно. В ходе последовательных обменов могут применяться различные способы регулирования, которые позволяют осуществить достижение равновесия, если сходимость не имеет места, или ускорить процесс достижения равновесия. В большинстве случае причиной несходимости процесса оказывается слишком высокая эластичность предложения по цене, которая обуславливает нарушения приведенного выше достаточного условия. Для того, чтобы уменьшить эту эластичность применяется «поощрение за недопроизводство» обычно в форме либо прямой компенсации при малом объеме производства, либо путем резкого повышения налогов при больших объемах производства.

Для описания процесса достижения равновесия с централизованным регулированием («нащупывание») применяется упомянутая выше схема, которая для случая многих товаров имеет вид:

Здесь – параметры настройки,

Использование знака max позволяет избежать появления отрицательных значений цен.

В случае взаимодополняющих (комплементарных) товаров их рынки можно рассматривать независимо друг от друга. При этом состояние равновесия со стороны спроса в значительной мере определяется тем, какую долю своего дохода потребительский сектор выделяет на приобретение данного товара, а со стороны предложения оно зависит от тех объемов ресурсов, которые могут быть выделены на производство этого продукта.

Таким образом, можно считать, что функция спроса имеет вид:

D = D(p, I),

где p – цена товара;

I – часть дохода потребителя, выделенная для его приобретения, причем справедливы соотношения

. (*)

Регулирование объема спроса осуществляется путем изменения указанной доли потребительского дохода.

Функция предложения выражается следующим образом:

S = S(p, Q),

где Q – объем ресурсов, выделяемых для регулирования поведения производителя.

При этом имеют место неравенства:

. (**)

Исходя из условия равновесия:

и соотношений (*) и(**) получаем, что цена равновесия зависит от объема ресурсов (Q) и дохода (I) следующим образом:

,

.

Таким образом, при увеличении объема ресурсов со стороны производства (Q) цена равновесия при неизменном спросе уменьшается (см. Рис. 7.11), где кривая предложения S₁ соответствует фиксированному объему ресурса R, а кривая S₂ – увеличенному объему ( ).

Рис. 7.11. При увеличении объема ресурсов равновесная цена уменьшается

Подобным же образом при неизменном предложении и увеличении доходов потребителей кривая спроса D сдвигается вправо и равновесная цена увеличивается (рис. 7.12).

Рис. 7.12. Рост доходов потребителя сдвигает кривую спроса вправо вверх

Полученные результаты можно использовать для разработки методов внерыночного регулирования, основанных на субсидиях и дотациях. В некоторых случаях существование равновесия не является само собой разумеющимся, и его реализация требует дополнительных усилий.

1) Ситуация, в которой производитель несет большие издержки в процессе производства и поэтому не может начать поставлять продукцию по цене ниже обусловленной границей рентабельности (p₀). Однако эта цена оказывается весьма высокой для потребителей и спрос при ценах оказывается меньше объемов производства, при которых оно рентабельно (рис. 7.13).

Рис. 7.13. Дотирование производителя позволяет достигнуть равновесия на рынке

Как видно, в этой обстановке равновесия в узком смысле не существует, но есть равновесие в широком смысле при (предложение больше спроса). Положение может быть исправлено путем дотирования производителя, после чего кривая предложения (S₁) перемещается налево в положение (S₂) и может быть достигнута точка равновесия.

2) случай дефицита, когда производство товара невелико и слабо реагирует на повышение цены, т.е. почти или полностью неэластично; а потребители готовы приобрести большое количество товара практически по любой цене (рис. 7.14).

Рис. 7.14. При недостаточном производстве неэластичного товара равновесие на рынке отсутствует, наблюдается дефицит

Нетрудно видеть, что в области разумных цен нет равновесия ни в узком, ни в широком смысле, напротив, имеет место дефицит товара. Равновесие может быть достигнуто либо путем резкого подъема производства, либо посредством резкого ограничения (рестрикции) доходов потребителей, например денежной реформы.

Свойства экономического равновесия на рынках многих товаров могут быть изучены при помощи следующей модели замкнутой экономики.

Пусть имеется L рынков товаров с номерами l = 1, ..., L ; m потребителей (i = 1, ..., m) и n производителей (j = 1, ..., n). Вектор представляет систему цен на товары; через обозначен спрос i-того потребителя на l-тый товар, через – предложение l-того товара производителем с номером j. Группа условий равновесия по каждому товару имеет вид:

. (***)

Предлагаем также как и ранее, что функции спроса зависят от системы цен и от дохода потребителя (I_i):

Функции предложения выражаются через систему цен и финансовый ресурс производителя (Q_j):

При заданных доходах (I_i) и ресурсах (Q_j) система L уравнений (***) служит для нахождения равновесной системы цен:

Можно показать, что существование экономически осмысленной (неотрицательной) равновесной системы цен связано с выполнением дополнительного условия на соотношениях доходов потребителей (I_i) и ресурсов производителей (Q_j).

В дальнейшем будем исходить из того, что совокупный доход (I) потребителей полностью тратится на закупку товаров

а совокупный ресурс (Q) производителей получен в результате продажи товаров

Возможны следующие два случая:

а) означенные совокупные величины равны между собой:

(****)

Данная ситуация получается в результате нормальной работы самообеспечивающейся системы рынков, в которой денежный спрос (Q) со стороны производителей полностью удовлетворяется за счет расходов потребителей (I). При естественных предположениях относительно функций спроса и предложения (см.выше) система уравнений(***) с учетом (****)дает возможность найти равновесную систему цен с точностью до постоянного множителя, т.е. систему относительных цен. Для удобства один из товаров обычно принимается за базовый (например, деньги) или просто называется единицей счета (его цена равна 1).

б) совокупный доход потребителей и доход производителей не равны между собой:

В этом случае система уравнений (***), вообще говоря, не имеет неотрицательного решения, т.е. не существует экономически осмысленной системы равновесных цен.

Рассмотрим следующий пример рынка двух товаров, на котором действуют два производителя (каждый поставляет лишь один товар) и два потребителя (каждый из них использует оба товара).

Пусть – цены товаров:

1) функции предложения имеют вид:

Таким образом, совокупный доход производителей

2) функции спроса выражены следующим образом:

совокупный доход потребителей:

Доход первого потребителя:

Доход второго:

Функции спроса первого потребителя на товары соответственно:

Функции спроса второго потребителя:

Условие равновесия:

Отсюда имеем соотношение равновесных цен:

Если принять второй товар за базовый (единицу счета – рубль), а физические объемы товаров выразить в тоннах, то равновесное состояние на рынках имеет вид:

· цены = 2.915руб./тонну;

= 1 руб./тонну;

· производство первого продукта

S₁ = 29.15 тонн;

· второго продукта

S₂ = 40 тонн;

· закупки потребителей:

D₁₁ = 20.62т ; D₁₂ = 15т;

D₂₁ = 8.59 т ; D₂₂ = 25т.;

· совокупный доход производителей:

R = 125 тыс.руб;

· расходы потребителей:

I₁ = 75 тыс.руб; I₂ = 50 тыс.руб.

В заключение рассмотрим модель равновесия, в которой множество производственных возможностей предприятия (рис. 7.15) задано при помощи соотношения:

При этом предприятие стремится максимизировать валовой доход:

.

Решение этой задачи имеет вид:

Эти выражения дают нам зависимость предложения от цен (функции предложения ). Потребитель стремится максимизировать свою функцию полезности

при условии ограниченности бюджета:

Решение этой задачи следующие:

Оно представляет собой функции спроса .

Условия равновесия представляются в следующей форме:

Решая полученную систему уравнений относительно , получаем значение равновесных цен:

,

а также координаты точки равновесия Е:

Точка Е касания границы множества производственных возможностей и наивысшей достижимой кривой безразличия является оптимумом Парето. Разделяющая эти множества прямая PQ называется линией цен.