Моделирование рыночных механизмов в условиях ограниченности ресурсов

Если:

1) выпуклые функции при ;

2) существует вектор такой, что , то вектор будет оптимальным решением сформулированной выше задачи максимизации тогда и только тогда, когда существует такой вектор , что ( ) является неотрицательной седловой точкой функции Лагранжа L(x,u).

Таким образом, решение задачи максимизации сводится к нахождению седловой точки Лагранжа, которое в свою очередь осуществляется путем применения следующего итерационного процесса (К.Эрроу, Л.Гурвиц):

.

Здесьt – номер итерации.

Начальные значения предполагаются известными (заданными) числами. Присутствие знака maxобеспечивает неотрицательность переменных в ходе реализации итерационного процесса.

Положительные величины называются параметрами настройки и должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы обеспечит устойчивость процесса. Применяются различные правила для фиксации момента окончания итерационного процесса. В качестве основных используется как критерий совпадения вида:

,

где – достаточно малое число, так и задание определенного числа (Т) итераций, после чего полученные значения:

считаются координатами искомой седловой точки. При этом вектор есть решение задачи максимизации, а вектор характеризует сравнительную важность ограничений оптимизационной задачи.

Рассмотрим сложную экономическую систему, состоящую из потребительского сектора, производственного сектора и сектора ресурсного обеспечения.

Пусть потребительский сектор представлен единой функцией полезности:

где – набор потребляемых благ, которые он стремится максимизировать.

Производственный сектор состоит из n предприятий (производств) (j = 1, ..., n) каждое из них производит один продукт (в количестве ) и все они производят различные продукты. Уровень производства определяется производственной функцией

где – объемы используемых производственных ресурсов.

Ресурсный сектор определен объемами ресурсов (труда, капитала, земли, энергетики и т.д.) R_l (l = 1, ..., s), предназначенных для использования в производственном секторе. При этом имеют место соотношения:

Состояние равновесия в широком смысле в рассматриваемой системе определяется как следующее соотношение между спросом (x_j) и предложением (y_j) для всех видов благ:

В дальнейшем будем исходить из того, что функция полезности U(x) и все производственные функции являются выпуклыми. В этом случае задача о нахождении состояния равновесия может быть сформулирована как задача выпуклого программирования:

Найти:

при условиях:

1) где

2) ;

3)

Как было показано выше, решение этой задачи в свою очередь сводится к отысканию неотрицательной седловой точки функции Лагранжа:

где;

· – вектор множителей Лагранжа, соответствующих производственным ограничениям (1). Эти величины имеют смысл цен на различные виды продукции;

· – вектор множителей Лагранжа, связанных с ресурсными ограничениями (2). Компоненты этого вектора представляют собой оценки важности используемых в производстве факторов. Например, ставка заработной платы выступает как оценка трудовых ресурсов; стоимость услуг капитала выражается оценкой капитальных ресурсов и т.д.

Условия первого порядка для отыскания седловой точки (условия Куна-Таккера) имеют вид:

1)

2)

3)

4)

Условия первой группы имеют следующий экономический смысл: если равновесный объем какого-либо блага ( ) отличен от нуля, то необходимо выполняется равенство:

которое совпадает с условием максимума функции полезности потребителя в условиях ограниченного дохода (см. гл. 1.). Таким образом, эти условия суть выражения оптимального поведения потребителя. Заметим, что из требования максимальности функции Лагранжа по переменным вытекает, что при :

т.е. предельная полезность неиспользуемого блага не превосходит его цены в состоянии равновесия.

Условия второй группы состоят в том, что при , т.е. в том случае, когда j-тое предприятие использует ненулевой объем l-того ресурса, должно быть выполнено соотношение:

которое может быть интерпретировано как необходимое условие максимума прибыли j-того предприятия (см. гл. 4). Это означает, что в состоянии равновесия осуществляется оптимальная производственная программа для всех предприятий.

Если l-тый ресурс не потребляется на j-том предприятии, т.е. , то из максимальности функции Лагранжа по имеем:

т.е. маргинальная продуктивность этого ресурса на j-том предприятии не выше его цены (ресурс слишком дорог и относительно малоэффективен).

Условия третьей группы характеризуют соотношения между спросом и предложением всякого блага в состоянии равновесия. Если цена блага , то необходимо:

т.е. имеет место равенство спроса ( ) и предложения ( ) этого блага. Если же равновесная цена , то из требования минимальности функции Лагранжа по следует, что:

т.е. предложение блага (как правило) превосходит спрос на него.

Условия четвертой группы связаны с распределением ресурсов между предприятиями и оценкой значимости этих ресурсов. Если равновесная цена l-того ресурса , то имеет место равенство:

которое свидетельствует о полном использовании запаса ресурса (спрос на ресурс равен его предложению). Если же , то из условия минимальности функции Лагранжа по переменной вытекает: т.е. предложение ресурса не меньше, чем спрос на него.

Процедура отыскания неотрицательной седловой точки реализуется путем конкретизации общего итерационного процесса, представленного выше. Исходные значения фазовых переменных:

,

а также двойственных переменных (цен)

считаются известными. Последующие значения определяются по формулам:

Здесь положительные числа являются параметрами настройки. В качестве признака окончания расчетов обычно используют либо фиксированное число итераций (Т), либо итерационный процесс прекращается и равновесное состояние считается найденным, если выполняется условие:

где – заданное число;

Полезно привести также аналоги итерационных формул в дифференциальной форме:

если для всех остальных случаев

где

если для всех остальных случаев

где

если для всех остальных случаев

где

если для всех остальных случаев

где

Анализ приведенного итерационного процесса показывает, что он достаточно точно имитирует рыночный механизм достижения состояния равновесия при помощи изменения объемов спроса на блага и ресурсы, а также путем варьирования соответствующими ценами. Как видно, спрос потребителя на некоторое благо возрастает до тех пор, пока предельная полезность его превышает цену этого блага, которая в свою очередь возрастает, если спрос оказывается больше предложения блага со стороны производственного сектора. Подобным же образом регулируется спрос производства на ресурсы: он возрастает пока предельная эффективность ресурса больше его цены, т.е. предприятие имеет дополнительную прибыль от приобретения ресурса, и рост прекращается, когда эта прибыль становится нулевой. Цена ресурса также увеличивается, если спрос на него превышает предложение со стороны ресурсного сектора, а при достижении равенства спроса и предложения, цена становится неизменной.