Нечеткий логический вывод.

Выше было определено, что правила СИИ формулируются экспертом. Но эксперт не всегда может точно определить, произойдет какое – либо событие , или нет. Например, врач ставит на основании своих наблюдений над пациентом определенный диагноз. Опыт врача во многих случаях с большой точностью позволяет определить заболевание пациента. Но он может и ошибиться, поэтому часто рассматриваются и другие диагнозы.

Люди не всегда могут ответить на вопросы точно. Можно ли узнать, какая у человека температура, если он говорит, что слегка заболел? Скорее всего, нет. Такие слова, как высокий, горячий и легкий, представляют собой лингвистические переменные, которые нельзя определить одним значением.

Лингвистическая переменная состоит из названия переменной, например, ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА и ее значений, например, РАСТЕТ, ПАДАЕТ.

Использование этих понятий при формулировании правил называется нечеткой логикой.

Нечеткий логический вывод может рассматриваться как расширение обычного логического вывода. В обычном логическом выводе производится применение некоторых правил логического вывода (которые считаются истинными) к некоторым посылкам (которые также считаются истинными), что в результате дает выводы, считающиеся достоверными. В нечетком же логическом выводе и исходные посылки, и правила вывода могут иметь произвольный уровень истинности в промежутке от 0 до 1, соответственно и получаемые результаты также могут быть более или менее достоверны.

В качестве примера рассмотрим влияние квартирной платы и цен на продукты питания на уровень жизни семьи. Это влияние описывается следующими утверждениями.

1. ЕСЛИ К_П незначительно растет, ТО У_Ж_1 незначительно падает. (m = 0.9)

2. ЕСЛИ К_П незначительно растет, ТО У_Ж_1 не падает. (m = 0.1)(Если перестают платить)

3. ЕСЛИ К_П значительно растет, ТО У_Ж_1 значительно падает. (m = 0.5)

4. ЕСЛИ К_П значительно растет, ТО У_Ж_1 не падает. (m = 0.5)

5. ЕСЛИ Ц_П незначительно растут, ТО У_Ж_2 незначительно падает. (m = 1)

6. ЕСЛИ Ц_П значительно растут, ТО У_Ж_2 значительно падает. (m = 1)

7. ЕСЛИ У_Ж_1 незначительно падает И У_Ж_2 незначительно падает, ТО У_Ж незначительно падает. (m = 1)

8. ЕСЛИ У_Ж_1 незначительно падает И У_Ж_2 значительно падает ИЛИ У_Ж_1 значительно падает И У_Ж_2 значительно падает, ТО У_Ж значительно падает. (m=1)

9. ЕСЛИ У_Ж_1 значительно падает И У_Ж_2 значительно падает, ТО У_Ж очень значительно падает. (m = 1)

Условия К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ и К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ являются размытыми и выражаются в зависимости от количества процентов роста p следующими формулами.

При 0 < p < 2 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = p / 2.

При 2 < p < 4 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 1.

При 4 < p < 10 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = (10 - p) / 6.

При p > 10 m (К_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 1.

При p < 5 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 0.

При 5 < p < 15 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = (p - 5) / 10.

При p > 15 m (К_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТЕТ) = 1.

Условия Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ и Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ также являются размытыми и выражаются формулами

При 0 < p < 1 m (Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = p.

При 1 < p < 5 m (Ц_П НЕЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = (5 - p) / 4.

При 0 < p < 10 m (Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = p / 10.

При p > 10 m (Ц_П ЗНАЧИТЕЛЬНО РАСТУТ) = 1.

При использовании нечеткой логики для каждой формулы вводятся целый спектр возможных значений, лежащих между 0 (ЛОЖНО) и 1 (ИСТИННО), и правила вычисления этих значений. Вычисленные таким образом значения определяют степень истинности формул. Рассмотрим основополагающие понятия нечеткого множества и функции принадлежности.

Рассмотрим такие понятия, как «растет» и «падает». Отнесем эти понятия к переменным ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА и РУБЛЬ. Применительно к переменной ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА понятие роста может означать повышение уровня цен на бирже на 10 – 30 пунктов по индексу Доу-Джонса, а применительно к переменной РУБЛЬ означает повышение курса рубля по сравнению с какой-либо другой валютой в 20 – 30 раз. В таком контексте слово «растет» называется значением лингвистической переменной. Лингвистическая переменная может принимать различные значения из некоторого интервала, границы которого могут меняться в зависимости от обстоятельств. Например, границы интервала для лингвистической переменной «холодный» могут меняться в зависимости от того, идет ли речь о зиме или весне.

Понятие «падает» – также лингвистическая переменная, использующаяся в правилах, описывающих фондовую биржу. Применяя лингвистические переменные, можно вычислить значения некоторых вероятностей, не обременяя пользователя лишними вопросами. Для этого необходимо несколько конкретизировать лингвистические переменные. Пользователю экспертной системы нужно позволить добавлять к этим переменным определения, например маленький или средний. Пользователь может задать маленькое повышение курса рубля, и экспертная система должна точно знать, что под этим подразумевается.

Рассмотрим правило:

ЕСЛИ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ – ПАДАЮТ И НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ, ТО УРОВЕНЬ ЦЕН НА БИРЖЕ – РАСТЕТ.

Это правило верно не всегда, поэтому можно ему приписать значение некоторого числа m, изменяющегося от 0 до 1. Такое число называют функцией принадлежности μ.

Пусть функция принадлежности данного правила равна 0,9, т.е. вероятность того, что при падении процентных ставок и уменьшении налогов уровень цен на бирже будет падать равна 0.9.

Но выполнение правила зависит от выполнения условий ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ и НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ, что происходит не всегда.

Пусть функция принадлежности лингвистической переменной ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ равна 0.6, а функция принадлежности лингвистической переменной НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ равна 0.8.

Тогда правило можно записать так:

ЕСЛИ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ ПАДАЮТ (μ - 0.6) И

НАЛОГИ УМЕНЬШАЮТСЯ (μ - 0.8), ТО УРОВЕНЬ ЦЕН НА БИРЖЕ - РАСТЕТ (μ правила - 0.9)

Функция принадлежности того, что уровень цен на бирже будет действительно расти может быть подсчитан следующим образом: выбирается минимальная функция принадлежности для условий части ЕСЛИ правила, разделенных логическим оператором И, и умножается на функцию принадлежности для всего правила. Для приведенного примера: (minimum (0.6, 0.8))*0.9=0.54

Следовательно, при μ - 0,54 можно сказать, что уровень цен на бирже будет падать.

Если в условной части правила имеется логический оператор ИЛИ, то μ для этого вывода нужно выбрать максимальной из μ для вывода первого правила и μ для вывода второго правила. На первый взгляд все это кажется очень сложным, поэтому разберем пример. Прежде всего сформулируем общие принципы.

1.Выбрать максимальное значение μ из μ для условий правила, разделенных логическим оператором И.

2.Если в правиле есть оператор ИЛИ, выбрать максимальное значение из μ для всех условий правила, разделенных оператором И для всех условий, связанных оператором ИЛИ.

3.Умножить выбранный μ на μ правила.

4.Если существует несколько правил с одинаковым логическим выводом, выбрать из всех полученных μ максимальный.

Рассмотрим два правила с одним и тем же логическим выводом С:

ЕСЛИ А (μ =0,3) И В (μ =0.6), ТО С (μ=0.5)

ЕСЛИ D (μ =0.4) И Е (μ =0,7), ТО С (μ=0.9)

В приведенных правилах μ для логического вывода С подсчитывается следующим образом:

maximum ((minimum(0.3,0.6)*0.5), (minimum (0.4,0.7) *0.9)) =

=maximum (03*0.5),(0.4*0.9)) = maximum (0.15,0.36) = 0.36

Возьмем пример с использованием логического оператора ИЛИ:

ЕСЛИ А (μ=0.3) И В (μ=0.6) ИЛИ D (μ=0.5), ТО С (μ=0.4)

В этом примере μ для логического вывода С считается так:

maximum (minimum (0.3,0.6), 0.5)*0.4)= maximum (0.3,0.5)*0.4=0.5*0.4=0.2.

Во многих случаях изначально заданы граничные значения функции принадлежности. Логический вывод считается верным только в том случае, если его μ превышает заранее заданные граничные значения. Работа с базой знаний продолжается до тех пор, пока значение функции принадлежности логического вывода больше граничного значения. В процессе работы выполняются определенные вычисления. Предположим, для частного логического вывода μ равно 0,4. Это значение запоминается. Затем оно сравнивается с граничным значением μ (допустим, что оно равно 0,8). Запомненное значение оказалось меньше граничного, и, значит, работа с базой знаний продолжается. Если при работе с базой знаний встретился тот же самый логический вывод, μ для новой μ и результат прибавляется к запомненному ранее μ. Значение μ , равное 1, свидетельствует об абсолютной уверенности в правильности вывода. Затем вновь запомненное значение μ сравнивается с граничным, и если оно больше, выполняется логический вывод, в противном случае, работа с базой знаний продолжается. Вышесказанное можно записать с помощью равенства:

Запомненный μ = Ранее запомненный μ + (1-Ранее запомненный μ)*μ нового правила.

Например:

Граничное значение μ=0,8

Правило: ЕСЛИ А, ТО В (μ=0,6)

Запомненный μ : 0,6

Новое правило: ЕСЛИ С, ТО В (μ=0,7)

Запомненный μ=0.6+(1-0,6)*0,7=0,88 (граничные значения превышены, и выполняется вывод).

Вопросы для самопроверки к главе 3:

1.Может ли быть в задачах рассуждений в пространстве состояний среды несколько целевых состояний?

2.Можно ли решить задачу рассуждений в пространстве состояний среды , рассматривая на каждом шаге два действия из четырех возможных?

3.Могут ли возможные действия меняться в процессе решения задачи в пространстве состояний среды?

4.При решении нечеткой задачи рассуждений в пространстве состояний среды ответ получаем детерминированный или вероятностный?

5.Может ли функция принадлежности принимать значение, большее единицы?

Тесты к главе 3.

1. Цель поиска:

А) нахождение целевого состояния, Б) нахождение промежуточного состояния, В) нахождение очередного состояния.

2.Поиск, вывод и рассуждение – это

А) одно и то же действие, Б) различные действия, В) ничего общего с действиями не имеют.

3. При нечеткой логике лингвистическая переменная может принимать

А) одно из двух значений «истинно» или «ложно», Б) множество значений внутри заданного интервала, В) одно значение.

4.Постановкой задачи называют

А) Задание всех возможных состояний, Б) задание всех возможных действий, В) задание всех возможных действий и состояний.

5. Если в условной части правила имеется логический оператор ИЛИ, то функцию принадлежности μ для вывода нужно выбрать

А) максимальной из μ для вывода первого правила и μ для вывода второго правила, Б) минимальной, В) функция принадлежности вывода не зависит от функций принадлежности от функций первого и второго правила