Уравнения в частных производных

 

Уравнение

F(х1, х2,..., хm, u, ,..., , , ,...) = 0,

связывающее неизвестную функцию u(х1, х2,..., хm), независимые переменные х1, х2,..., хm и частные производные неизвестной функции, называется уравнением в частных производных. Порядок п старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнение в частных производных называется линей­ным, если оно линейно относительно неизвестной функ­ции и её частных производных.

Приведем основные уравнения математической физи­ки, которые являются линейными уравнениями в част­ных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение (уравнение колебаний)

(8.1)

описывает различные виды волн – звуковые, упругие, электромагнитные и другие колебательные процессы. Функция u = u(х, у, z, t) зависит от пространственных переменных х, у, z и времени t.

 

2. Процесс распространения тепла в однородном изот­ропном теле

описывается уравнением теплопроводности

 

(8.2)

 

Уравнение теплопроводности в общем виде записыва­ется так:

c(х, у, z, t) = div[k(u, х, у, z, t) grad u] + q(х, у, z, t),

grad u = ,

div(X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)) =

Здесь u = u(х, у, z, t) – температура в точке (х, у, z) в момент времени t,

c(u, х, у, z, t) – теплоемкость в точке (х, у, z) в момент времени t, k(u, х, у, z, t) – коэффици­ент теплопроводности в точке (х, у, z) в момент времени t,

q(u, х, у, z, t) – плотность источников тепла.

 

3. Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле

описывается уравнением Пуассона

= -f(x, y, z). (8.3)

Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле при отсутствии источников тепла внут­ри тела описывается уравнением Лапласа

= 0. (8.4)

В уравнениях (8.3) и (8.4) функция u = и(х, у, z) зави­сит только от пространственных переменных х, у, z.

Согласно классификации уравнений второго порядка уравнение (8.1) относится к гиперболическому типу, (8.2) – к параболическому типу, а (8.3), (8.4) – к эллип­тическому типу.

В конкретной постановке задачи математической фи­зики необходимо найти решение одного из уравнений (8.1) – (8.4), удовлетворяющее дополнительным (началь­ным и граничным) условиям.

Начальные условия задаются с уравнениями (8.1), (8.2) и обычно имеют вид

u(x, y, z, t0) = u0(x, y, z), (8.5)

 

= u1(x, y, z). (8.6)

При этом для уравнения (8.1) искомое решение u = u(х, у, z, t) должно удовлетворять в начальный момент времени t0 условиям (8.5) и (8.6), а для уравнения (8.2) – одному из условий (8.5), (8.6).

Граничные условия для уравнений (8.1), (8.2): искомое решение

u = u(х, у, z, t) должно удовлетворять на грани­це тела (или среды) одному из условий

, (8.7)

 

, (8.8)

где – производная по направлению нормали к границе G тела.

Для уравнений Пуассона или Лапласа задаются толь­ко граничные условия

 

(8.9)

или

(8.10)

Задача для уравнения Лапласа (8.5) с граничным ус­ловием (8.9) называется задачей Дирихле, а с условием (8.10) – задачей Неймана.

Область Ω, описывающая тело, может быть задана в трехмерном, двумерном или одномерном пространствах. В первом случае функция u = u(х, у, z, t) зависит от трех пространственных переменных (х, у, z) и времени t, во втором – от двух пространственных переменных (х, у) и времени t: u = u(х, у, t), а в третьем случае – от перемен­ных х и t: и = и(х, t).

Рассмотрим разностный метод решения задач для уравнений в частных производных, который описывает­ся ниже на примерах основных задач математической физики.

8.1. Разностный метод для уравнения колебаний

а) Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой стру­ны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (рис. 8.1):

utt = c2uxx + f(x, t), 0 < x < a, 0 < t < T, (8.11)

u(x, 0) = μ(x), ut(x, 0) = μ0(x), 0 < x < a, (8.12)

u(0, t) = μ1(t), u2(a, t) = μ2(t), 0 £ t £ T. (8.13)


 

 

Рис. 8.1

Струна совершает плоскиеколебания, т. е. точки стру­ны перемещаются параллельно плоскости t = 0.

Функция u(х, t) выражает смещение точки х струны в момент времени t от прямолинейной формы.

Начальные условия (8.12) означают следующее. Фор­ма струны в начальный момент времени t = 0 выражает­ся функцией μ(x). Скорость перемещения точки х стру­ны в момент времени t = 0 равна значению функции μ0(х).

Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ1(t), a правый конец – смещение μ2(t).

Если концы струны закреплены, то μ1(t) = μ2(t) = 0.

При этом предполагается, что начальные условия (8.12) и кра­евые условия (8.13) должны быть согласованы между со­бой в угловых точках, т. е. выполнены условия u(0, 0) = μ(0) = μ1(0), u(а, 0) = μ(a) = μ2(a).

 

На рис. 8.1 представлен случай, когда

u(0, 0) = μ(0) = μ1(0) = 0, u(а, 0) = μ(a) = μ2(a) = 0.

Введем сеточную область (рис. 8.2, а). В прямоуголь­ной области 0 £ x £ a,

0 £ t £ T зададим точки

(xi, tk), xi = ih, i = l,..., N;

tk = , k = 0, 1, ... , M; τ = (8.14)

Рассмотрим уравнение (8.11) в точках (xi, tk), i = 1,..., N - 1, k = 1,..., М - 1, и заменим производные разно­стными формулами

utt(xi, tk)=

(8.15)

uxx(xi, tk)=

 

Обозначим через ui,k приближенные значения искомой (функции в точках (xi, tk). Тогда из уравнения (8.11) полу­чим разностное уравнение (разностную схему), которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком О(h2 + τ2):

(8.16)

i = 1,..., N - 1; k = 1,..., M - 1.

 

На рис. 8.2, б изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1)

 

 

 

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из ко­торых следует, что

ui, 0 = μ(xi), i = 1, 2, ... , N - 1. (8.17)

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной ut(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора:

u(xi, t1) = u(xi, τ) = u(xi, 0) + ut(хi, 0)τ + utt(xi, 0)τ2 + O(τ3). (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

utt(xi, 0) = c2uxx(xi, 0) + f(xi, 0) = с2μ''(хi) + f(хi, 0). (8.19)

Теперь, учитывая условие ut(x, 0) = μ0(x) в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:

u(xi, t1) = μ(xi) + μ0(xi)τ + (с2μ''(хi) + f(хi, 0)) + О(τ3). (8.20)

С учетом (8.13) окончательно получим для приближен­ных значений искомой функции на первом слое формулы

ui, 1 = μ(xi) + μ0(xi)τ +

i = 1, 2,..., N - 1; u0, 1 = μ1(t1), uN, 1 = μ2(t1). (8.21)

Учитывая граничные условия (8.13), из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях k = 2,..., М:

u0, k = μ1(tk), uN, k = μ2(tk).

ui, k = 2ui, k - 1 - ui, k - 2 +

i = 1, 2,..., N - 1. (8.22)

Таким образом, получены явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) ре­шения разностной задачи.

Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исход­ных данных отвечают малые изменения решения.

Известен следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло­вие Куранта сτ < h.

Говорят, что решение разностной схемы (8.16) сходится к решению исходной задачи (8.11) – (8.13), если выполняется условие

при h ® 0 и τ ® 0.

Если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, решение разностной схемы сходится к решению задачи.

Сформулируем алгоритм решения задачи о колебани­ях струны (8.11) –(8.13) с помощью явной разностной схе­мы (8.16).

1. Построить сеточную область

(xi, tk), xi = ih, i = 0, l,..., N;

tk = , k = 0, 1, ... , M; τ =

выбирая шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие ус­тойчивости (условие Куранта) сτ < h.

2. Вычислить значения ui,k искомой функции для k = 0,1:

ui, 0 = μ(xi), i = 0, 1, ... , N,

ui, 1 = μ(xi) + μ0(xi)τ +

i = 1,..., N - 1; u0, 1 = μ1(t1), uN, 1 = μ2(t1). (8.23)

3. Вычислить значения ui,k для k = 2,..., M:

u0, k = μ1(tk), uN, k = μ2(tk).

ui, k = 2ui, k - 1 - ui, k - 2 +

i = 1, 2,..., N - 1. (8.24)

б) Уравнение колебаний струны. Неявная схема

Построим неявную схему для уравнения колебаний струны (8.11):

 

=

 

(8.25)

i = 1,..., N – 1; k = 1,..., M; .

Для устойчивости схемы (8.25) параметры с, h, τ, σ должны удовлетворять условию:

Если 1/4 £ σ £ 1/2, схема (8.25) безусловно устойчива.

Шаблон схемы (8.25) изображен на рис. 8.4

Значения решения на нулевом и первом слоях вычис­ляют по формулам (8.23). На каждом k-м слое (k = 2, 3, ... , М) решают методом прогонки систему уравнений относительно ui,k+1 i = 1, 2, ... , N - 1:

(8.26)

 

Алгоритм решения неявной разностной схемы для уравнения колебаний струны:

0. Построить сеточную область, выбирая шаги h, τ и па­раметр σ так, чтобы выполнялось условие устойчивости

Если 1/4 £ σ £ 1/2, можно выбирать h, τ произвольно.

1. Вычислить значения ui,k искомой функции для k = 0, 1:

ui,0 = μ(xi), i = 0, 1,..., N; (8.27)

ui,1 = μ(xi) + μ0(xi)τ + , (8.28)

i = 1,..., N – 1; u0, 1 = μ1(t1), uN, 1 = μ2(t2)

2. Значения ui,k+1 для каждого k > 0 находим методом прогонки.

2.1. Вычислим правые части (8.26):

 

 

(8.29)

i = 1,..., N – 1.

2.2. Вычислим прогоночные коэффициенты;

 

(8.30)

 

(8.31)

 

. (8.32)

2.3. Вычислим решение ui,k+1 :

u0, k + 1 = μ1(tk + 1), uN, k + 1 = μ2(tk + 1),

 

uN – 1, k + 1 = βN – 1, (8.33)

 

ui, k + 1 = αiui + 1, k + 1 + βi,

i = N – 2, N – 3,..., 1. (8.34)

8.2. Разностный метод для уравнения колебаний мембраны

Рассмотрим задачу для уравнения колебаний однород­ной прямоугольной мембраны:

utt = c2(uxx + uyy) + f(x, у, t), (8.35)

0 < x < a, 0 < y < b, 0 < t < T.

u(x, у, 0) = μ(x, у), 0 < х < a, 0 < у < b. (8.36)

ut(x, у, 0) = μ0(x, у), 0 < х < a, 0 < у < b. (8.37)

u(0, у, t) = μ1(y, t), u(a, у, t) = μ2(y, t)

0 £ y < b, 0 £ t £ T.

u(x, 0, t) = μ3(x, t), u(x, b, t) = μ4(x, t) (8.38)

0 £ x < a, 0 £ t £ T.

Введем сеточную область:

(xi, yj, tk), xi = ihx, i = 0, ..., Nx, hx = ,

yj = jhy, j = 0, ..., Ny, hy = ,

tk = , k = 0, ..., M, τ = .

Обозначим ui,j,k = u(xi, уj, tk). Заменяя производные Разностными формулами для уравнения (8.35), получим разностное уравнение с порядком аппроксимации O( ):

+

+ (8.39)

i = 1, ..., Nx – 1, j = 1, ..., Ny – 1, k = 1, ..., M – 1.

Таким образом, получена явная разностная схема, аналогичная явной схеме для уравнения колебаний струны.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений | Вероятностные методы. Метод Монте-Карло

Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 421;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.041 сек.