Уравнения в частных производных

Уравнение

F(х₁, х₂,..., х_m, u, ,..., , , ,...) = 0,

связывающее неизвестную функцию u(х₁, х₂,..., х_m), независимые переменные х₁, х₂,..., х_m и частные производные неизвестной функции, называется уравнением в частных производных. Порядок п старшей производной называется порядком дифференциального уравнения.

Уравнение в частных производных называется линей­ным, если оно линейно относительно неизвестной функ­ции и её частных производных.

Приведем основные уравнения математической физи­ки, которые являются линейными уравнениями в част­ных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение (уравнение колебаний)

(8.1)

описывает различные виды волн – звуковые, упругие, электромагнитные и другие колебательные процессы. Функция u = u(х, у, z, t) зависит от пространственных переменных х, у, z и времени t.

2. Процесс распространения тепла в однородном изот­ропном теле

описывается уравнением теплопроводности

Уравнение теплопроводности в общем виде записыва­ется так:

c(х, у, z, t) = div[k(u, х, у, z, t) grad u] + q(х, у, z, t),

grad u = ,

div(X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)) =

Здесь u = u(х, у, z, t) – температура в точке (х, у, z) в момент времени t,

c(u, х, у, z, t) – теплоемкость в точке (х, у, z) в момент времени t, k(u, х, у, z, t) – коэффици­ент теплопроводности в точке (х, у, z) в момент времени t,

q(u, х, у, z, t) – плотность источников тепла.

3. Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле

описывается уравнением Пуассона

Граничные условия для уравнений (8.1), (8.2): искомое решение

u = u(х, у, z, t) должно удовлетворять на грани­це тела (или среды) одному из условий

, (8.7)

, (8.8)

где – производная по направлению нормали к границе G тела.

Для уравнений Пуассона или Лапласа задаются толь­ко граничные условия

(8.9)

или

(8.10)

Задача для уравнения Лапласа (8.5) с граничным ус­ловием (8.9) называется задачей Дирихле, а с условием (8.10) – задачей Неймана.

Область Ω, описывающая тело, может быть задана в трехмерном, двумерном или одномерном пространствах. В первом случае функция u = u(х, у, z, t) зависит от трех пространственных переменных (х, у, z) и времени t, во втором – от двух пространственных переменных (х, у) и времени t: u = u(х, у, t), а в третьем случае – от перемен­ных х и t: и = и(х, t).

Рассмотрим разностный метод решения задач для уравнений в частных производных, который описывает­ся ниже на примерах основных задач математической физики.

8.1. Разностный метод для уравнения колебаний

а) Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой стру­ны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (рис. 8.1):

u_tt = c²u_xx + f(x, t), 0 < x < a, 0 < t < T, (8.11)

u(x, 0) = μ(x), u_t(x, 0) = μ₀(x), 0 < x < a, (8.12)

u(0, t) = μ₁(t), u₂(a, t) = μ₂(t), 0 £ t £ T. (8.13)

 

 

Рис. 8.1

Струна совершает плоскиеколебания, т. е. точки стру­ны перемещаются параллельно плоскости t = 0.

Функция u(х, t) выражает смещение точки х струны в момент времени t от прямолинейной формы.

Начальные условия (8.12) означают следующее. Фор­ма струны в начальный момент времени t = 0 выражает­ся функцией μ(x). Скорость перемещения точки х стру­ны в момент времени t = 0 равна значению функции μ₀(х).

Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ₁(t), a правый конец – смещение μ₂(t).

Если концы струны закреплены, то μ₁(t) = μ₂(t) = 0.

При этом предполагается, что начальные условия (8.12) и кра­евые условия (8.13) должны быть согласованы между со­бой в угловых точках, т. е. выполнены условия u(0, 0) = μ(0) = μ₁(0), u(а, 0) = μ(a) = μ₂(a).

На рис. 8.1 представлен случай, когда

u(0, 0) = μ(0) = μ₁(0) = 0, u(а, 0) = μ(a) = μ₂(a) = 0.

Введем сеточную область (рис. 8.2, а). В прямоуголь­ной области 0 £ x £ a,

0 £ t £ T зададим точки

(x_i, t_k), x_i = ih, i = l,..., N;

t_k = kτ, k = 0, 1, ... , M; τ = (8.14)

Рассмотрим уравнение (8.11) в точках (x_i, t_k), i = 1,..., N - 1, k = 1,..., М - 1, и заменим производные разно­стными формулами

u_tt(x_i, t_k)=

(8.15)

u_xx(x_i, t_k)=

Обозначим через u_i,k приближенные значения искомой (функции в точках (x_i, t_k). Тогда из уравнения (8.11) полу­чим разностное уравнение (разностную схему), которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком О(h² + τ²):

(8.16)

i = 1,..., N - 1; k = 1,..., M - 1.

На рис. 8.2, б изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1)

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из ко­торых следует, что

u_{i, 0} = μ(x_i), i = 1, 2, ... , N - 1. (8.17)

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной u_t(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора:

u(x_i, t₁) = u(x_i, τ) = u(x_i, 0) + u_t(х_i, 0)τ + u_tt(x_i, 0)τ² + O(τ³). (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

u_tt(x_i, 0) = c²u_xx(x_i, 0) + f(x_i, 0) = с²μ''(х_i) + f(х_i, 0). (8.19)

Теперь, учитывая условие u_t(x, 0) = μ₀(x) в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:

u(x_i, t₁) = μ(x_i) + μ₀(x_i)τ + (с²μ''(х_i) + f(х_i, 0)) + О(τ³). (8.20)

С учетом (8.13) окончательно получим для приближен­ных значений искомой функции на первом слое формулы

u_{i, 1} = μ(x_i) + μ₀(x_i)τ +

i = 1, 2,..., N - 1; u_{0, 1} = μ₁(t₁), u_{N, 1} = μ₂(t₁). (8.21)

Учитывая граничные условия (8.13), из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях k = 2,..., М:

u_{0, k} = μ₁(t_k), u_{N, k} = μ₂(t_k).

u_{i, k} = 2u_{i, k - 1} - u_{i, k - 2} +

i = 1, 2,..., N - 1. (8.22)

Таким образом, получены явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) ре­шения разностной задачи.

Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исход­ных данных отвечают малые изменения решения.

Известен следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло­вие Куранта сτ < h.

Говорят, что решение разностной схемы (8.16) сходится к решению исходной задачи (8.11) – (8.13), если выполняется условие

при h ® 0 и τ ® 0.

Если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную задачу, решение разностной схемы сходится к решению задачи.

Сформулируем алгоритм решения задачи о колебани­ях струны (8.11) –(8.13) с помощью явной разностной схе­мы (8.16).

1. Построить сеточную область

(x_i, t_k), x_i = ih, i = 0, l,..., N;

t_k = kτ, k = 0, 1, ... , M; τ =

выбирая шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие ус­тойчивости (условие Куранта) сτ < h.

2. Вычислить значения u_i,k искомой функции для k = 0,1:

u_{i, 0} = μ(x_i), i = 0, 1, ... , N,

u_{i, 1} = μ(x_i) + μ₀(x_i)τ +

i = 1,..., N - 1; u_{0, 1} = μ₁(t₁), u_{N, 1} = μ₂(t₁). (8.23)

3. Вычислить значения u_i,k для k = 2,..., M:

u_{0, k} = μ₁(t_k), u_{N, k} = μ₂(t_k).

u_{i, k} = 2u_{i, k - 1} - u_{i, k - 2} +

i = 1, 2,..., N - 1. (8.24)

б) Уравнение колебаний струны. Неявная схема

Алгоритм решения неявной разностной схемы для уравнения колебаний струны: