Вероятностные методы. Метод Монте-Карло

Пусть задана непрерывная случайная величина ξ (кси), с плотностью вероятности р(х), значения которой распре­делены на интервале (а, b)

Плотность вероятности р(х) обладает следующими свойствами:

1) p(x) ³ 0;

2) . (9.2)

Тогда математическое ожидание случайной величины ξ равно интегралу

M(ξ) = . (χ – хи)

Для функции f(ξ), аргументом которой является слу­чайная величина ξ, т. е. для случайной функции, матема­тическое ожидание равно

M(f((ξ)) = . (9.3)

Отсюда следует, что любой интеграл вида

где функция р(х) обладает свойствами (9.2), можно при­нять за математическое ожидание некоторой случайной функции f(ξ).

Но математическое ожидание случайной величины f(ξ) можно приближенно определить с помощью статистичес­ких оценок, т. е. на основе выборки {ξ₁, ξ₂,..., ξ_N} объема N как среднее арифметическое значений {f(ξ₁), f(ξ₂),..., f(ξ_N)} поэтому интеграл (9.3) можно вычислить прибли­женно по формуле

» (9.4)

Теоретическим основанием для такого перехода явля­ется центральная предельная теорема теории вероятно­стей, которая в упрощенной формулировке утверждает следующее.

Среднее арифметическое N испытаний случайной ве­личины ξ

ξ_N =

является случайной величиной с тем же математическим ожиданием

M(ξ_N) = М(ξ)

и дисперсией, равной

D(ξ_N) =

и при N ® ¥ закон распределения слу­чайной величины ξ_N стремится к нормальному закону.

Очевидно, что чем больше N, тем меньше дисперсия D(ξ_N) = . Величину погрешности формулы (9.4)можно оценить по вероятности. Например, при боль­ших N можно утверждать, что с вероятностью 0,997 ошибка не превосходит величину 3σ = 3× (прави­ло «трех сигм» для нормально распределенной случайной величины).

Можно считать, что погрешность формулы (9.4) есть величина порядка O , но для повышения точности в данном случае нельзя применять правило Рунге-Ромберга.

Приведем другой способ статистической оценки для одномерного интеграла

.

Для этого вспомним его геометрический смысл. Предпо­ложим, что функция f(x) положительна на отрезке [a, b]. Тогда интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b (рис. 9.1).

Рассмотрим две случайные величины ξ – равномерно распределенную на отрезке [а, b] и η (эта) – равномерно рас­пределенную на отрезке [0, f_max] где f_max = .

Рис. 9.1

Вероятность попадания случайной точки (ξ, η) в криво­линейную трапецию равна отношению площади трапеции к площади прямоугольника

{(х, у), a £ х £ b, 0 £ у £ f_max }:

(9.5)

Проведем серию из N испытаний и получим N случай­ных точек (х, у), принадлежащих прямоугольной области {a £ х £ b, 0 £ у £ f_max }. Подсчитаем число N_f точек, удов­летворяющих условию у £ f(x). Тогда вероятность попада­ния случайной точки (ξ, η) в криволинейную трапецию приближенно равна относительной частоте попадания в криволинейную трапецию, т. е. р » и интеграл приближенно вычисляется по формуле

» (9.6)

Другой, более простой способ вычисления интеграла заключается в следующем.

Проведем серию из N испытаний случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [а, b], и полу­чим N случайных чисел x_i, принадлежащих отрезку [а, b]. Вычислим интеграл по формуле

» (9.7)

Отметим, что в (9.7) подынтегральная функция может принимать положительные и отрицательные значения, тогда как формула (9.6) применима только для неотрица­тельной функции f(x).

В общем случае, когда пределы интегрирования могут быть бесконечными, необходимо преобразовать интеграл к виду

(9.8)

и применить формулу (9.7).

9.2. Вычисление кратных интегралов