Вимушені коливання нелінійного дисипативної осцилятора

Отримання замкнутих рішень задач про вимушені коливання при нелінійно-в'язкому терті або нелінійній відновлювальній силі навіть у разі моногармонічній обурюючий силі дуже важко. Навіть при застосуванні потужного методу пошука рішення у вигляді рядів Фур'є багато суттєві особливості поведінки нелінійних систем не виявляються досить виразно. Тому обмежимося деякими приватними випадками і окремими прийомами, що дозволяють з'ясувати найбільш характерні особливості даного явища.

3.2.1 Консервативна система з нелінійної відновлювальної силою

Розглянемо найпростішу нелінійну консервативну систему, описувану рівнянням

(3.5)

Приймемо, що система мало відрізняється від лінійної і тому вимушені коливання відбуватимуться з основною частотою

Будемо цікавитися тільки поведінкою амплітуди В. Якщо шукати вимушене рішення у вигляді то рівняння (3.5) прийме вигляд

. (3.6)

Рішення цього рівняння можна отримати графічним способом: визначення точок перетину прямої і графіка заданої функції (рис.3.5).

Рисунок 3.5 – Графічне визначення амплітуди вимушених коливань

Рисунок 3.6 – Характерна резонансна крива систем з нелінійною відновлювальною силою

Для різних та можна побудувати певний аналог резонансних кривих для лінійних систем. Зобразимо резонансну криву (рис.3.6) для деякої заданої амплітуди впливу і відзначимо особливості її поведінки. При отримаємо криву (скелетна крива - штрихова лінія), відповідну зв'язку власної частоти і амплітуди вільних коливань.

Аналіз характерною резонансної кривої дозволяє зробити наступні висновки:

1. При частоті в системі завжди відбувається однозначно визначений коливальний рух з амплітудою, яка залежить від частоти.

2. При можливі три режими руху:

, , .

Детальні дослідження показують, що два перших режиму стійкі, а третій режим нестійкий.

3. Відзначається неоднозначність протікання явища в залежності від напрямку зміни частоти збуджуючої. Поступове збільшення частоти від нуля призводить до збільшення амплітуди слідуючи гілки I. При деякому значенні система відчуває «зрив» амплітуди на гілку II (точки і ) і далі амплітуда зменшується слідуючи кривій II. Якщо ж після зриву амплітуди частоту зменшувати, то буде зростання амплітуди до точки , а її подальше зменшення призводить до зриву на гілку I (точка );

4. При наявності тертя обидві гілки кривої сходяться і при збільшенні частоти зрив амплітуд стає неминучим.

3.2.2 Дисипативний осцилятор з нелінійним загасанням

А) Випадок механічної системи з нелінійно-в'язким тертям. Метод енергетичного балансу.

Диференціальне рівняння руху має вигляд

. (3.7)

Наближене рішення рівняння вимушених коливань можна знайти методом енергетичного балансу, суть якого полягає в заміні нелінійної сили еквівалентною в енергетичному відношенні лінійною силою . Коефіцієнт визначається з умови рівності робіт, що здійснюються обома силами за один період, тобто

. (3.8)

Більше того, наближено приймаємо, що встановлено рішення (3.7) як і у випадку лінійного тертя, має вигляд

. (3.9)

Записуючи рівняння (3.8) для напівперіоду (оскільки швидкість не змінює знак), і підставляючи (3.9) в (3.8), знаходимо

, (3.10)

де .

Якщо взяти для сили тертя нелінійний закон виду

,

то (3.10) дає значення

, (3.11)

де – ейлеров інтеграл другого роду.

Звертаючись до відомого рішенням лінійної задачі (див. 3.1) знаходимо рівняння для амплітуди

; (3.12)

тут . Задаючись тепер конкретним значенням нелінійності “ ”, “ ”, можна побудувати при різних сімейство резонансних кривих.

Б) Контур з нелінійним загасанням. Метод гармонійного наближення.

Схема контуру представлена ​​на рис. 3.7.

Рисунок 3.7­­– Схема контуру з нелінійним загасанням

Нехай

.

Тоді рівняння, що описує поведінку контура, в безрозмірному вигляді прийме вигляд:

, (3.13)

де , , , , , , .

У гармонійному наближенні рішення шукаємо у вигляді

. (3.14)

З (3.13) отримуємо систему для визначення , ,

, (3.15)

(3.16)

(3.17)

де .

Перше рівняння (3.15) дає величину постійної напруги зміщення на ємності за рахунок несиметрії нелінійного опору. Рівняння (3.16) і (3.17) дозволяють знайти амплітуду вимушених коливань

або

. (3.18)

Задаючись параметрами впливу і , сімейство резонансних кривих отримуємо з (3.18).

Залишаючи питання побудови резонансних кривих на самостійне дослідження, зазначимо лише на вимогу обережності в передбачуваних висновках про вимушені коливання у нелінійних системах внаслідок прийнятих припущень, покладених в основу знайдених рішень.

Наприкінці даного розділу вкажемо ще на один метод (метод повільно мінливих амплітуд) аналізу поведінки слабонелінейних систем при гармонійному зовнішньому впливі. З основами методу читач може ознайомитися у відомих навчальних посібниках [1-4].

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 3

1. Яким чином можна знайти час встановлення коливань?

2. Час розгойдування системи більше за наявності або відсутності опору? Відповідь обгрунтуйте.

3. Чи залежить частота вимушених коливаннь від характерис-тик коливальної системи?

4. Отримайте рішення вимушених коливань системи без дисипації у разі резонансу.

5. Якою особливістю володіє залежність амплітуди вимушених коливань від частоти впливу, що обурює в нелінійних системах?