ПАРАМЕТРИЧНІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ СВОБОДИ

Загальні поняття

До цих пір ми розглядали коливальні системи, на які діяли відновлюючі сили, які залежать від узагальнених координат , дисипативні сили, які залежать від узагальнених швидкостей і змушують сили, що є заданими функціями часу .

Однак існують сили і більш складної природи, які залежать від , .

.

таким чином, виділити складові, які залежать тільки від координат і тільки від часу неможливо.

Так, наприклад, у випадку найпростішої лінійної системи рівняння руху можна представити у вигляді

(5.1)

де параметр “ ” залежить від часу; воно і описує параметричні коливання. Обмежимося лише нагодою періодичної «модуляції» параметра, тобто .

Відразу відзначимо, що в залежності від параметрів системи амплітуди параметричних коливань залишаються обмеженими або зростають з часом. Це явище називається параметричним резонансом. Параметричний резонанс має місце при виконанні певних співвідношень між частотою зміни параметра і частотою порушених коливань, близькою або збігається з власною частотою системи, а також при виконанні умов, що стосуються глибини модуляцій параметра.

Наведемо два простих приклади параметричних систем. Для маятника довжиною , масою вантажу і заданим періодичним законом руху точки підвісу (рис.5.1) диференціальне рівняння щодо руху

Рисунок 5.1– Маятник з точкою підвісу, яка коливається

або

(5.2)

відноситься до типу параметричних (5.1).

Рисунок 5.2 – Контур зі змінною ємністю

Рисунок 5.3 – Кусково-постійна залежність ємності від часу

Рисунок 5.4 – Синусоїдальна залежність ємності

В електричному контурі (рис. 5.2) зі змінною ємністю за рахунок якогось зовнішнього пристрою з періодичним кусочно-постійним (рис. 5.3) або синусоїдальним (рис. 5.4) законом можливі при певних умовах як стійкі так і наростаючі коливання.