Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме имеют вид:

Перенос реализуется с помощью операции сложения, а масштабирование и поворот — операции умножения. Удобно было бы эти преобразования представить в единой форме. Рассмотрим, как это сделать.

Если мы выразим точки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью операции умножения.

В однородных координатах точка записывается как , где — масштабный множитель, не равный нулю.

При этом, если точка задана в однородных координатах , то можно найти ее декартовые координаты:

Если же , то операция деления не нужна:

Перенос

Уравнение переноса (1) запишется в виде матрицы преобразования:

, (10)

или

, (11)

где

.

Перемножив, получим:

.

Докажем, что если точку перенести в на расстояние , а затем в точку на расстояние , то в результате получим перенос на расстояние .

Доказательство:

Теперь подставим (12) в (13):

.

Матричное произведение и :

то есть перенос — функция аддитивная.

Масштабирование

Уравнение масштабирования (4) в матричной форме имеет вид:

(14)

Определяя

,

имеем

. (15)

Перемножив, получим:

.

Докажем, что масштабирование — функция мультипликативная, то есть если точку промасштабировать в точку с , а потом — в точку с , то результат будет иметь вид: .

Доказательство:

Подставляя (16) в (17):

.

Матричное произведение и :

.

Поворот

Уравнение поворота (3) можно представить в виде:

. (18)

Полагая

,

имеем:

. (19)

Перемножив, получим:

.

Докажем, что два последовательных поворота аддитивны. Если точку повернуть на угол в точку , а точку — в точку при повороте на угол , то общий поворот равен .

Доказательство:

.

Найдем :