Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований


 

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме имеют вид:

 

Перенос реализуется с помощью операции сложения, а масштабирование и поворот — операции умножения. Удобно было бы эти преобразования представить в единой форме. Рассмотрим, как это сделать.

Если мы выразим точки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью операции умножения.

В однородных координатах точка записывается как , где — масштабный множитель, не равный нулю.

При этом, если точка задана в однородных координатах , то можно найти ее декартовые координаты:

Если же , то операция деления не нужна:

 

 

Перенос

Уравнение переноса (1) запишется в виде матрицы преобразования:

 

, (10)

 

или

, (11)

 

где

.

 

Перемножив, получим:

 

.

 

Докажем, что если точку перенести в на расстояние , а затем в точку на расстояние , то в результате получим перенос на расстояние .

(12)
(13)

Доказательство:

 

 

Теперь подставим (12) в (13):

 

.

 

Матричное произведение и :

 

 

то есть перенос — функция аддитивная.

 

Масштабирование

Уравнение масштабирования (4) в матричной форме имеет вид:

 

(14)

 

Определяя

 

,

 

имеем

. (15)

 

Перемножив, получим:

 

.

 

Докажем, что масштабирование — функция мультипликативная, то есть если точку промасштабировать в точку с , а потом — в точку с , то результат будет иметь вид: .

Доказательство:

 

(16)
(17)

 

Подставляя (16) в (17):

 

.

 

Матричное произведение и :

.

 

Поворот

Уравнение поворота (3) можно представить в виде:

 

. (18)

 

Полагая

 

,

 

имеем:

 

. (19)

 

Перемножив, получим:

 

.

 

Докажем, что два последовательных поворота аддитивны. Если точку повернуть на угол в точку , а точку — в точку при повороте на угол , то общий поворот равен .

Доказательство:

 

.

 

Найдем :

 



Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 1678;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.