Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости Навье-Стокса

В 1822 году Клод Луи Навье получил уравнения движения вязкой жидкости путем преобразований уравнений движения, которые существенно усложняются. При движении вязкой жидкости в ней возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, так как жидкость обладает способностью оказывать сопротивление относительно сдвигу своих слоев и частиц. Нормальные и касательные напряжения зависят не только от координат точек жидкости, но и от ориентации в пространстве площадки, на которую они действуют.

Представим движение жидкости в 2-х мерных координатах (рис.6.1)

Рис. 6.1 К выводу уравнения Навье-Стокса

Для вязкой жидкости справедлив закон трения Ньютона (2.7)

(6.1)

где - касательное напряжение, ; - динамическая вязкость жидкости, .

Изменение касательных напряжений вдоль оси составит:

(6.2)

Подставляя в (6.2) значение , получим значение вязкостных напряжений вдоль оси :

(6.3)

Отнеся это изменение к единице объема жидкости, запишем:

(6.4)

где - кинематическая вязкость жидкости,

Дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости вдоль оси :

(6.5)

Аналогично на другие оси:

(6.6)

Полученная система уравнений движения вязкой жидкости и носит название системы уравнений Навье-Стокса.

Три уравнения Навье-Стокса (6.6) плюс уравнение неразрывности

образуют замкнутую систему. Плотность и вязкость, входящие в них, считаются известными, а проекции массовых сил задаются условиями конкретной задачи.

С чисто математических позиций уравнения Навье-Стокса относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, и до настоящего времени, вследствие математических трудностей, не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде.

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ

Теория подобия, являющаяся основой современного физического эксперимента отвечает на вопросы как спроектировать и построить модель, какие величины необходимо измерять при проведении опытов, и как перенести результаты опытов, полученных на модели на натурный объект В основе гидрогазодинамического моделирования лежит представление о подобии сравниваемых течений. Два течения будут подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого умножением на некоторые постоянные коэффициенты, называемые коэффициентами подобия.

В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическоеподобие требует, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, другими словами, модель повторяет натуру в каком-то масштабе.

Это требование можно записать в виде

где - масштабный множитель.

Для площадей и объемов

;)

Кинематическое подобие сводится к подобию полей скоростей в потоках, движущихся в геометрически подобных каналах.

Динамическое подобие требует, чтобы в соответствующих точках натуры и модели силы находились в постоянном соотношении.

Рассмотрим простейший пример. Известно, что движение любой механической системы подчиняется закону Ньютона

,

Для двух подобных систем можно записать

и

Разделив второе уравнение, на первое получим:

По смыслу есть скорость, поэтому,

(7.3)

Полученные комплексы безразмерны.

Таким образом, для двух подобных систем сохраняется числовое равенство безразмерных комплексов . В честь Ньютона это число подобия обозначается двумя первыми буквами его фамилии, т.е.

(7.4)

Таким образом, чтобы спроектировать и построить модель необходимо, чтобы она была геометрически подобна натуре, и в ней сохранялось равенство безразмерных комплексов, составленных из этих величин для натуры и модели, называемых числами подобия.

Если в числе подобия Ньютона заменим F на силу тяжести, получим число Фруда-отношение сил инерции к силам тяжести.

(7.7)

Заменим в критерии Ньютона силу, на силу давления , получим число Эйлера, для несжимаемой жидкости данное число подобия характеризует отношение изменения сил давления к удвоенному скоростному давлению.

(7.8)

В число Эйлера входит величина - перепад давления (потеря давления), которая, как правило, является искомой.

Число Рейнольдса - отношение сил инерции к силам вязкого трения, получится, если в числе подобия Ньютона заменить на силу внутреннего трения.

(7.9)

По результатам измерений можно вычислить числа подобия модели, исходя из равенства их числам подобия натуры, произвести пересчет. Из выше изложенного можно сформулировать:

- первая теорема подобия:

Подобным между собой явления имеют одинаковые критерии подобия;

- вторая теорема подобия:

Решение системы дифференциальных уравнений можно представить как функцию от критерия подобия, т.е. зависимость между переменными величинами может быть выражена критериальным уравнением.

Примером такого критериального уравнения может быть уравнение вида

Иногда для получения новых критериев известные критерии перемножаются, так при перемножении критерия Фруда на квадрат критерия Рейнольдса, получим критерий Галилея, который используется для описания

свободного движения газа в среде другого газа.

(7.12)

Для одного и того же газа имеющего разные температуры, используют критерий Грасгофа

(7.13)

Конечной целью теории подобия и анализа размерностей является определение структуры безразмерного комплекса, характеризующего данный процесс.

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

В потоках жидкостей и газов принято различать режимы движения. Движение, при котором линии тока прямолинейны и устойчивы, называются ламинарными, в таких потоках не происходит пульсации местных скоростей. Потоки, в которых происходит перенос вещества, как в продольном, так и в поперечном сечениях, называют турбулентными, такие потоки сопровождаются вихреобразованиями.

Пределы существования ламинарного и турбулентного движения были подтверждены О. Рейнольдсом на экспериментальной установке (рис 8.1). К напорному баку была присоединена стеклянная труба, к которой подводилась окрашенная жидкость из отдельного сосуда.

Скорость движения жидкости регулировалась краном.

Рис 8.1 Экспериментальная установка Рейнольдса

В зависимости от скорости движения жидкости Рейнольдс наблюдал несколько видов движения:

- ламинарное (или слоистое), при котором струйки газа перемещаются параллельно одна другой, не пересекаясь. Характерной особенностью ламинарного движения является параболическое распределение скоростей по сечению потока, обусловленное трением о поверхность прилегающего к ней слоя газа и последующих слоев друг о друга;

- переходное (неустановившееся) движения газов, при котором наряду с ламинарным движением возникали первые вихревые пульсации потока, которые потом пропадали;

- турбулентное (или вихреобразное), при турбулентном режиме в потоке возникает множество вихрей, что приводит к интенсивному перемешиванию газа. Распределение скоростей при этом более равномерно и имеет вид усеченной параболы.

Характер движения зависит от соотношения сил инерции и сил внутреннего трения или вязкости.

Это соотношение характеризуется безразмерным комплексом, названным впоследствии критерием Рейнольдса: ,

где – эквивалентный диаметр канала, .

Для каналов произвольной формы ,

где – площадь сечения; – периметр).

Характер движения зависит от соотношения сил инерции и сил внутреннего трения.

Ламинарное течение наблюдается при малых значениях критерия Рейнольдса, а турбулентное при более высоких.

Так, для случая течения жидкости в круглых трубах при поток ламинарный, при поток турбулентный. Интервал соответствует неустановившемуся или переходному движению.