Получить выражения для КЧХ, АЧХ и ФЧХ в общем виде.

Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения. Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты – фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

По определению КЧХ – отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонического сигнала в зависимости от его частоты.

Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т. е. являются четырехполюсниками.

Рисунок 1. Схема последовательного колебательного контура с емкостной нагрузкой.

Найдём КЧХ, АЧХ, ФЧХ этого четырёхполюсника.

КЧХ: ; (1)

АЧХ: ; (2)

ФЧХ = φ_вых ‑ φ_вх. (3)

В формулах (1) – (3) используется входное сопротивление контура Z_вх. Для его нахождения воспользуемся схемой замещения контура.

Рисунок 2. Схема замещения контура.

,

где – мнимая единица.

Модуль входного сопротивления запишется как:

. (4)

Из рисунка 2 видно, что выходное емкостное сопротивление определяется как:

или . (5)

Тогда используя формулы (4) и (5) окончательно АЧХ можно записать:

. (6)

При резонансной частоте , АЧХ = Q (добротность).

Далее для вычисления ФЧХ определим входную φ_вх и выходную φ_вых фазы колебаний.

Воспользуемся векторной диаграммой амплитуд падения напряжений для последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рисунок 3).

Рисунок 3. Диаграмма амплитуд падения напряжений для последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Из рисунка 3 видно, что входную фазу φ_вх можно определить через тангенс:

или (7)

Выходная фаза φ_вых определяется конденсатором, поэтому:

. (8)

Учитывая формулы (7) и (8) получим выражение для ФЧХ:

. (9)

КЧХ соответственно с учетом формул (6) и (9) запишется:

. (10)

Проводимостью называют величину обратную полному сопротивлению. Входная проводимость контура (комплексная проводимость):

(11)

где , , .

Если X положительно, то и b положительно. При X отрицательном b также отрицательно.

Пункт 5