Применение нелинейного программирования для решения СНУ

Использование метода Лагранжа, не всегда позволяет получить решение общей задачи нелинейного программирования, поскольку не всегда дифференцирование функции Лагранжа позволяет получить простую систему уравнений. Чаще всего в результате образуется система нелинейных уравнений, решение которой аналитическими методами проблематично. Основным аппаратом решения практических задач нелинейного программирования является использование итерационных процедур, позволяющих получить решение с заданной степенью точности.

Итерационные методы иногда используются даже там, где применимы аналитические процедуры. Это относится, например, к системам линейных уравнений большой размерностью и со слабозаполненной матрицей коэффициентов

В данной главе мы не ставим целью детально изучить теорию математического программирования. Наша задача – продемонстрировать его применение для решения электроэнергетических задач, в частности для решения линейных или нелинейных УУН.

Задача решения СЛУ сводится к поиску координат минимума специально введенной целевой функции , представляющую, например, сумму квадратов невязок уравнений (метод наименьших квадратов):

где - вектор невязок. Минимум удовлетворяет решению СЛУ, поскольку здесь , рис. 7.7.

Задача приведена к форме нелинейного программирования, где с помощью некоторого рекуррентного соотношения формируется последовательность точек , стремящихся к решению . В качестве критерия допустимости направления движения можно рассматривать условие, при котором каждая последующая точка должна быть лучше (в смысле оптимальности функционала) предыдущей , например, при минимизации целевой функции.

Рис. 9.7. Представление целевой функции

Последовательность точек образует траекторию спуска к минимуму Ф. Если в точке каким-либо образом найдено возможное направление спуска , то во всех применяемых в математическом программировании методах новая точка на траектории спуска вычисляется согласно рекуррентному выражению:

Различие в многочисленных методах возможных направлений состоят либо в способах задания направления спуска , либо в способах определения величины , представляющей собой длину шага вдоль вектора .